算法笔记学习：入门篇 2 递归

分治

1. 分解：
   将原问题分解为若干和原问题结构相同或相似的子问题
2. 解决：
   递归求解所有子问题
3. 合并：
   将子问题的解合并为原问题的解

递归实现分治法

1. 案例：阶乘
2. 案例：斐波那契数列
3. 案例：全排列
   一般称将1~n这n个整数按某个顺序摆放的结果称为这n个整数的一个排列，而全排列是指这n个整数能够形成的全部排列。现在需要实现按字典序实现 1 ~ n 的全排列。其中，(a1,a2,…,an)字典序小于(b1,b2,…,bn)是指存在一个i，使得a1=b1,a2=b2,…,a(i-1)=b(i-1),ai<bi成立

实现递归的两个要素：①递归式②递归边界

递归案例

阶乘

#include<cstdio>

int F(int n)
{
	if (n == 0) return 1;
	else return F(n - 1) * n;
}

int main()
{
	int n;
	
	scanf("%d",&n);
	
	printf("%d\n",F(n));
	
	return 0;
}

Fibonacii数列

#include<cstdio>

int F(int n)
{
	if (n == 0 || n == 1) return 1;
	else return F(n - 1) + F(n - 2);
}

int main()
{
	int n;
	
	scanf("%d",&n);
	
	printf("%d\n",F(n));
	
	return 0;
}

全排列（n = 3）

#include<cstdio>

const int maxn = 11;
//P为存储当前排列的数组， hashTable用于记录整数 x是否已经在 P中 
int n, P[maxn], hashTable[maxn] = {false};
//处理排列中的第 index 号位置 
void generateP(int index)
{
	if (index == n + 1)
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			printf("%d",P[i]);
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	
	for (int x = 1; x <= n; x++) //枚举 1 ~ n，试图将 x填入P[i] 
	{
		if (hashTable[x] == false)
		{
			P[index] = x;
			hashTable[x] = true;
			generateP(index + 1); //处理排列的第 index + 1 号位置 
			hashTable[x] = false; //已处理完 P[index] 为 x 的子问题，还原状态 
		}
	}
}

int main()
{
	n = 3;
	
	generateP(1);
	
	return 0; 
}

n皇后问题（基于全排列，n = 8）

#include<cstdio>
#include<cmath>

const int maxn = 11;
//P为存储当前排列的数组， hashTable用于记录整数 x是否已经在 P中 
int n, P[maxn], hashTable[maxn] = {false};

int count = 0;

//处理排列中的第 index 号位置 
void generateP(int index)
{
	if (index == n + 1)
	{
		bool flag = true;
		for (int i = 1; i <= n; i++)	//遍历任意两个皇后 
		{
			for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			{
				if (abs(i - j) == abs(P[i] - P[j]))	//在一条对角线上 
				{
					flag = false; 
				}
			}
		}
		if (flag) count++; 
		return;
	}
	
	for (int x = 1; x <= n; x++) //枚举 1 ~ n，试图将 x填入P[i] 
	{
		if (hashTable[x] == false)
		{
			P[index] = x;
			hashTable[x] = true;
			generateP(index + 1); //处理排列的第 index + 1 号位置 
			hashTable[x] = false; //已处理完 P[index] 为 x 的子问题，还原状态 
		}
	}
}

int main()
{
	n = 8;
	
	generateP(1);
	
	printf("%d\n",count);
	
	return 0; 
}