斜率DP小结

最新推荐文章于 2022-02-05 15:35:36 发布

mizp

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分类专栏：笔记

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本文深入探讨了斜率优化动态规划（DP）方法，针对包含平方项的DP方程进行优化，通过斜率分析得到点的表示及目标斜率，使用双端队列维护下凸包，并给出具体算法流程及代码实现，最后通过例题HDU3507详解应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

此文大部分来自以下博客
如果有需要学习请移步以下链接
【笔记】【总结】斜率DP及习题-Little_Fall
斜率优化-南枙向暖

此文主要初学的我为了加深自己印象，难免错误，请大家勿往下阅读

引入
当我们在遇到这样的DP方程时 $d p [i] = d p [j] + (x [i] - x [j]) * (x [i] - x [j])$ ,如果把右边的乘法化开的话,会有 $x [i] * x [j]$ 的项,它不能分解为只与i或j有关的部分。这里学习一种新的优化方法，叫做斜率优化。

例题: HDU3507 Print Article
给定n(5e5)和m(1000)，以及一个长为n的数列 $a_i$ ,现在要把数列分成若干个连续段。定义每个连续段的代价是 $\sum{a_i}^2+m$ ,求划分后的最小代价。

思路:
dp[i]: 表示把前i个数划分完的最小代价
sum[i]: 从 $a_1+……+a_i$ 的和
则我们可以得到初始式子 $dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2),(0<=j<i,dp[0]=0)$
然后我们通过变形，设j<k<i，且决策点k更优，则有
$dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2<dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2$
转化得， $\frac{dp[k]-sum[k]^2-(dp[j]-sum[j]^2)}{sum[k]-sum[j]}<2*sum[i]$

若 $y_j=dp[j]-sum[j]^2,x_j=sum[j]$ ,则 $\frac{y_k-y_j}{(x_k-x_j)}<2*sum[i]$ ,

未完待续

斜率DP算法流程总结

1.找到dp的转移式，通过斜率分析得到点的表示 $x_i,y_i)$ 及目标斜率的表示
2.用双端队列维护一个下凸包，每当新来一个点时，末尾不断出队直到构不成上凸包。
3.选择最优解，即 $k_{j,j+1}$ 大于目标斜率的第一个j。当目标斜率递增时，每次更新队首，然后可以选择队首作为最优解。
4.斜率少用double,容易有误差

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) x & -x
#define lson root<<1,l,mid
#define rson root<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=5e5+5;

int n,m,head,tail;
int dp[N],sum[N],q[N];

int getdp(int i,int j){
    return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}

int getup(int j,int k){
    return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}

int getdown(int j,int k){
    return 2*(sum[j]-sum[k]);
}

int main(){
#ifdef Mizp
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        sum[0]=dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&sum[i]);
            sum[i]+=sum[i-1];
        }
        head=tail=0;
        q[tail++]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(head+1<tail && getup(q[head+1],q[head])<=sum[i]*getdown(q[head+1],q[head]))
                head++;
            dp[i]=getdp(i,q[head]);
            while(head+1<tail && getup(i,q[tail-1])*getdown(q[tail-1],q[tail-2])<=getup(q[tail-1],q[tail-2])*getdown(i,q[tail-1]))
                tail--;
            q[tail++]=i;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

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