斜率优化DP 总结（含凸优化）

最新推荐文章于 2022-08-12 19:15:15 发布
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分类专栏： 总结
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Larry1118/article/details/86707759
本文深入探讨了斜率优化的DP形式及其转换为斜率式的方法，便于进行二分查找。同时，介绍了凸优化的概念及在特定条件下的应用，通过调整参数K来优化分组数量，给出了具体的实例问题。

我看了很多%d%a%l%a%o的博客，使我对其印象深刻。
确实，斜率优化的DP式一般都是：
f [ i ] = m i n f [ j ] + a [ i ] ∗ a [ j ] + . . . f[i]=min{f[j]+a[i]*a[j]}+... f[i]=minf[j]+a[i]∗a[j]+...
我们对于k<j<i，假设从j转移比从k转移要优，我们可以得到以下式子：
f [ j ] + a [ i ] ∗ a [ j ] &lt; f [ k ] + a [ i ] ∗ a [ k ] f[j]+a[i]*a[j]&lt;f[k]+a[i]*a[k] f[j]+a[i]∗a[j]<f[k]+a[i]∗a[k]
f [ j ] − f [ k ] &lt; a [ i ] ∗ a [ k ] − a [ i ] ∗ a [ j ] f[j]-f[k]&lt;a[i]*a[k]-a[i]*a[j] f[j]−f[k]<a[i]∗a[k]−a[i]∗a[j]
f [ j ] − f [ k ] &lt; a [ i ] ∗ ( a [ k ] − a [ j ] ) f[j]-f[k]&lt;a[i]*(a[k]-a[j]) f[j]−f[k]<a[i]∗(a[k]−a[j])
( f [ j ] − f [ k ] ) / ( a [ k ] − a [ j ] ) &lt; a [ i ] (f[j]-f[k])/(a[k]-a[j])&lt;a[i] (f[j]−f[k])/(a[k]−a[j])<a[i]
所以，任何形式我们都可以转化成斜率式，以便二分。
下面是我从我看的第一个博客（%%%）中copy下来的：
在这里插入图片描述
bzoj1010[HNOI2008]完具装箱
bzoj1096[ZJOI2007]仓库建设
bzoj1597[USACO2008 Mar]仓库购买
bzoj1911[APIO2010]特别行动队
bzoj3156 防御准备
bzoj3675[Apio2014]序列分割
待更

2019.8.4 update

凸优化

凸优化是在有分段限制的情况下的一种优化方式。
对于每一次的选取加一个 K K K的代价。
显然， K K K越大分成的组数越小，反之越大。
所以，我们可以二分 K K K，最后答案便是 f [ n ] − m ∗ K f[n]-m*K f[n]−m∗K
例题：
4475. 【GDOI2016模拟4.25】征途
4476. 羊羊列队
。。。

在转移的时候可以优化：
在这里插入图片描述

[模板] 斜率优化Dp详解
Bill_Yang_2016的博客
01-22 1万+
算法简介今天xinyue讲了斜率优化，全程懵逼，居然还有这么牛逼的东西。 于是与achen讨论了一下，总结一些东西。 斜率优化Dp其实是单调队列的推广，单调队列、旋转卡壳、斜率优化都利用了单调性降低时间复杂度。算法简介举个例子 有些动规状态转移方程可以写成 f[i]=min/max{f[j]+…+x[i]}，省略号中只有与j有关的变量。 我们就可以用单调队列进行优化，使O(n^2)降为O(
学习笔记——斜率优化 dp
ZCETHAN 的博客
05-18 500
引入 斜率优化，是单调队列优化的一个进阶版本，为了更好地理解，先来回顾一下单调队列吧~ 所谓单调队列优化，就是对于形如： dpi=max⁡{dpj+aj} dp_i=\max\{dp_j+a_j\} dpi​=max{dpj​+aj​} 的 dpdpdp 式，我们把所有的 dpj+ajdp_j+a_jdpj​+aj​ 放进单调队列里，实现 O(1)O(1)O(1) 的转移。 这个时候，只有在式子中，每一项只有关于 jjj 或者只有关于 iii 的。但是如果有这样一个式子： dpi=max⁡{dpj+aj×a
『摆渡车 斜率优化dp及总结』
weixin_34112030的博客
05-08 265
摆渡车的题解我已经写过一遍了，在这里，这次主要从斜率优化的角度讲一下摆渡车，并总结一下斜率优化会出现的一些奇奇怪怪的错误。 摆渡车 Description 有 n 名同学要乘坐摆渡车从人大附中前往人民大学，第 i 位同学在第 titi分钟去 等车。只有一辆摆渡车在工作，但摆渡车容量可以视为无限大。摆渡车从人大附中出发、 把车上的同学送到人民大学、再回到人大附中（去接其他同学），这样往返...
斜率优化DP
weixin_30471561的博客
02-10 143
从lyd蓝书入的门。 一、任务安排1 这是最弱化的板子。 首先考虑O(n3)的DP： f[i][j]=min0<=k<i([f[k][j-1]+(S*J+sumT[i])*(sumC[i]-sumC[k])); 考虑优化：因为没有限制要分成多少批，而我们之所以 多设一维j是因为我们 需要知道启动了多少次，从而计算时间。 这里运用到一种“费用提前计算”的思想来优化： 在DP...
斜率优化dp：
_Griefs
08-24 278
一、任务安排1： 有 N 个任务排成一个序列在一台机器上等待执行，它们的顺序不得改变。 机器会把这 N 个任务分成若干批，每一批包含连续的若干个任务。 从时刻0开始，任务被分批加工，执行第 i 个任务所需的时间是 Ti。 另外，在每批任务开始前，机器需要 S 的启动时间，故执行一批任务所需的时间是启动时间 S 加上每个任务所需时间之和。 一个任务执行后，将在机器中稍作等待，直至该批任务全部执行完毕...
【知识点总结】斜率优化dp(待更新）
Jun
04-04 253
//今天有点晚了，先放几道例题 EXAMPLES （虽然说都比较水，但是相对还是有一些梯度。。） 1 [HNOI2008]玩具装箱TOY 题目传送门 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define db double #define int long long const int maxn=5e4+10; int n,L; d...
斜率优化动态规划DP
01-11
### 斜率优化动态规划（DP）解析 #### 一、引言 斜率优化是一种特殊的动态规划优化技术，主要用于解决那些原本具有较高时间复杂度（如\(O(n^2)\)）的问题，并将其降至线性时间复杂度\(O(n)\)。这种优化方法主要应用...
浅谈WQS二分、带权二分、凸优化与一类斜率优化DP
ixRic
11-05 1241
幕天题意一个简单的转化二维DP朴素斜率优化带权二分我们先看一道简单题题意分析代码进入正题题目回顾分析加权权与段数的关系单调性两个问题DP朴素DP斜率优化就题论题的分析方法一个普适的结论代码后记 除最后一张普适公式外，文中所有图像和公式均为原创，转载请附出处谢谢！！！ 题意 [BZOJ 4518] Sdoi2016 征途 求nnn个数a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_na1​,...
斜率优化dp
weixin_55355427的博客
08-12 409
斜率优化dp讲解
斜率优化dp-2020.06.09.pdf
06-09
#### 斜率优化DP的基本原理 在某些动态规划问题中，状态转移方程可以被转换为以下形式： \[ \text{DP}[i] = f[j] + x[i] \] 其中 \( f[j] \) 仅依赖于变量 \( j \) 的值。这种情况下，可以使用单调队列进行优化。...
斜率优化DP寻找最优决策点
最新发布
08-07
<think>我们正在讨论动态规划中的斜率优化技术。斜率优化主要用于优化形如 $dp[i] = \min_{j < i}\{ dp[j] + f(i, j) \}$ 的转移方程，其中 $f(i, j)$ 可以分解为关于 $i$ 和 $j$ 的函数的组合。斜率优化的核心思想是将转移方程转化为直线方程，利用决策点的斜率单调性，通过维护一个凸包（上凸包或下凸包）来快速找到最优决策点。 根据引用内容，斜率优化通常适用于以下情况： 1. 转移方程可以写成：$dp[i] = \min_{j < i} \{ dp[j] + A(i) \cdot B(j) + C(i) + D(j) \}$，其中 $A(i)$ 和 $B(j)$ 是分别只与 $i$ 和 $j$ 有关的函数。 2. 通过代数变形，将转移方程转化为：$dp[j] + D(j) = -A(i) \cdot B(j) + (dp[i] - C(i))$。这样，我们可以将每个决策点 $j$ 看作二维平面上的一条斜率为 $-A(i)$ 的直线，截距为 $dp[i]-C(i)$，而每个决策点 $j$ 对应于点 $(B(j), dp[j]+D(j))$。 3. 当 $A(i)$ 具有单调性（例如递增）时，我们可以利用单调队列维护凸包；当不具有单调性时，可能需要二分查找。 具体步骤： 1. **变形方程**：将转移方程变形，使得只与 $j$ 相关的项（$dp[j]+D(j)$ 和 $B(j)$）作为点的坐标，而只与 $i$ 相关的项（$A(i)$）作为斜率。 2. **维护凸包**：根据斜率的变化趋势（递增或递减）维护一个凸包（上凸或下凸）。通常，如果斜率是递增的，则维护下凸包（最小值）；如果斜率是递减的，则维护上凸包（最大值）。但具体问题需要具体分析。 3. **寻找最优决策点**：在凸包上，最优决策点满足它前后的点所连成的直线的斜率与当前斜率 $k_i$ 满足一定的关系（例如，对于下凸包，最优决策点满足：前一个点与当前点的斜率小于 $k_i$，而当前点与后一个点的斜率大于等于 $k_i$）。 4. **加入新决策点**：在计算完当前状态 $dp[i]$ 后，将点 $(B(i), dp[i]+D(i))$ 加入凸包，同时维护凸包性质（删除破坏凸性的点）。 引用[1]中给出了一个例子：凸包上的斜率呈单增态，那么最优决策点就是第一个斜率大于等于 $k_0$ 的线段的左端点。由于斜率单调递增，可以使用二分查找。 引用[4]提到，当右边是一个递增的变量（即斜率单调递增）时，会选用斜率递增的单调队列（上凸包或下凸包，具体问题具体分析）。在引用[4]的图中，斜率递增，因此维护的是上凸包？但注意：通常下凸包对应最小值问题，上凸包对应最大值问题。但具体问题需要分析。 下面我们通过一个经典问题“任务安排”来具体说明（参考引用[5]的问题）： 问题描述：有 $n$ 个任务，每个任务需要 $t_i$ 的时间，费用系数为 $c_i$。任务可以分批，每批任务有一个启动时间 $S$。每批任务连续完成。设第 $i$ 个任务完成的时间为 $T_i$，则其费用为 $T_i \times c_i$。总费用为所有任务费用之和。要求最小化总费用。 状态定义：设 $dp[i]$ 表示完成前 $i$ 个任务的最小费用。 转移方程：考虑将 $j+1$ 到 $i$ 的任务分成一批，则： $$ dp[i] = \min_{0 \leq j < i} \left\{ dp[j] + \text{sumT}_i \times (\text{sumC}_i - \text{sumC}_j) + S \times (\text{sumC}_n - \text{sumC}_j) \right\} $$ 其中，$\text{sumT}_i = \sum_{k=1}^i t_k, \text{sumC}_i = \sum_{k=1}^i c_k$。 变形：将只与 $j$ 相关的项提出来： $$ dp[i] = \min_{j} \left\{ dp[j] - (S + \text{sumT}_i) \times \text{sumC}_j \right\} + \text{sumT}_i \times \text{sumC}_i + S \times \text{sumC}_n $$ 令 $A(i) = S + \text{sumT}_i$，$B(j) = \text{sumC}_j$，$C(i) = \text{sumT}_i \times \text{sumC}_i + S \times \text{sumC}_n$，$D(j) = 0$，则： $$ dp[i] = \min_{j} \left\{ dp[j] - A(i) \cdot B(j) \right\} + C(i) $$ 移项： $$ dp[j] = A(i) \cdot B(j) + (dp[i] - C(i)) $$ 这里，$A(i)$ 是递增的（因为 $\text{sumT}_i$ 递增），$B(j)$ 也是递增的（$\text{sumC}_j$ 递增）。 因此，每个决策点 $j$ 对应于点 $(B(j), dp[j])$。我们要求的是斜率为 $A(i)$ 的直线过某个决策点 $j$ 时的截距（$dp[i]-C(i)$）最小。所以，我们维护一个下凸包（因为要求最小值，且斜率 $A(i)$ 递增）。 维护凸包步骤： 1. 在队列中，相邻点之间的斜率递增（下凸包）。 2. 当计算 $dp[i]$ 时，因为斜率 $A(i)$ 递增，所以队首的决策点可能不再是最优（因为后面的点可能更优），我们需要检查队首两个点之间的斜率是否小于 $A(i)$，如果小于，则队首点不是最优，弹出队首，直到队首两点斜率大于等于 $A(i)$。此时队首点即为最优决策点。 3. 计算 $dp[i]$。 4. 将点 $(B(i), dp[i])$ 加入队尾。在加入之前，需要检查队尾三个点是否保持凸性（即队尾三个点中，中间点是否在下面，如果不是则弹出队尾点，直到满足凸性）。 具体实现： - 使用双端队列（deque）存储决策点的下标（或者直接存储坐标）。 - 队列中存储的决策点对应凸包上的点。 伪代码： ```python 初始化：dp[0] = 0, 队列q，将0加入队列 for i in range(1, n+1): # 从队首弹出斜率小于当前斜率A(i)的点（因为斜率递增，所以队首的点可能不再是最优） while len(q) >= 2 and slope(q[0], q[1]) <= A(i): pop_front(q) j = q.front() # 最优决策点 dp[i] = dp[j] - A(i)*B(j) + C(i) # 将点i加入队列，维护凸包 while len(q) >= 2 and slope(q[-1], i) <= slope(q[-2], q[-1]): pop_back(q) push_back(q, i) ``` 其中，`slope(j, k)` 表示点j和点k之间的斜率：$(dp[k]-dp[j]) / (B(k)-B(j))$。 注意：这里假设 $B(k) \neq B(j)$，且 $B$ 是递增的，所以分母不为0。 通过以上步骤，我们可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内完成动态规划。 总结：斜率优化动态规划的关键在于将转移方程变形为直线方程，利用决策点的凸性，通过维护凸包来快速寻找最优决策点。 §§相关问题§§ 1. 斜率优化动态规划适用于哪些类型的转移方程？ 2. 如何判断一个动态规划问题是否可以使用斜率优化？ 3. 斜率优化中，如何维护凸包？ 4. 斜率优化中，当斜率不单调时，如何寻找最优决策点？ 5. 能否举例说明一个斜率优化动态规划的具体问题？</think>### 动态规划中的斜率优化技术 斜率优化是动态规划的高级优化技术，用于**寻找最优决策点**并降低时间复杂度。其核心思想是将状态转移方程转化为几何形式（直线斜率），通过维护**决策点的凸包**（上凸包或下凸包）快速定位最优解。以下是关键技术要点： --- #### 一、斜率优化的适用条件 1. **状态转移方程形式** 需满足：$dp[i] = \min_{j < i} \\{ dp[j] + f(i, j) \\}$ 其中 $f(i, j)$ 可拆分为：$f(i, j) = A(i) \cdot B(j) + C(i) + D(j)$ （$A(i), B(j)$ 分别为 $i$ 和 $j$ 的函数） 2. **斜率单调性** - 若 $A(i)$ 单调递增/递减，可用单调队列维护凸包（$O(n)$） - 若 $A(i)$ 无单调性，需二分查找凸包（$O(n \log n)$） --- #### 二、实现步骤（以最小化问题为例） 1. **变形状态转移方程** 将方程改写为： $$ \underbrace{dp[j] + D(j)}_{Y_j} = \underbrace{-A(i)}_{斜率} \cdot \underbrace{B(j)}_{X_j} + \underbrace{(dp[i] - C(i))}_{截距} $$ 此时每个决策点 $j$ 对应平面点 $(X_j, Y_j) = (B(j), dp[j] + D(j))$。 2. **维护凸包** - **下凸包**（最小值问题）：相邻点斜率递增（$\frac{Y_{k+1}-Y_k}{X_{k+1}-X_k} \geq \frac{Y_k-Y_{k-1}}{X_k-X_{k-1}}$） - **上凸包**（最大值问题）：相邻点斜率递减 *示例凸包维护（引用[4]）：* > 斜率递增的单调队列对应下凸包，通过删除队尾破坏凸性的点保证斜率单调性[^4]。 3. **寻找最优决策点** - **单调队列法**（$A(i)$ 递增时）： 1. 删除队首斜率 $\leq A(i)$ 的点（因其不会更优） 2. 队首即最优决策点 $j^*$ *示例（引用[1]）：* > 当凸包斜率单增时，找到第一个满足 $\frac{Y_j-Y_{j-1}}{X_j-X_{j-1}} \geq A(i)$ 的点 $j$，其左端点即最优决策点[^1]。 - **二分法**（$A(i)$ 无单调性）： 在凸包上二分查找满足 $\frac{Y_j-Y_{j-1}}{X_j-X_{j-1}} \geq A(i)$ 的最小 $j$。 4. **更新状态与决策点** 计算 $dp[i] = dp[j^*] + A(i) \cdot B(j^*) + C(i)$，并将点 $(B(i), dp[i] + D(i))$ 加入凸包。 --- #### 三、经典问题示例 **任务安排问题**（引用[5]）： - **状态转移**：$dp[i] = \min_{j < i} \\{ dp[j] + (sumT_i + S) \cdot (sumC_i - sumC_j) \\}$ - **斜率优化**： - $A(i) = sumT_i + S$, $B(j) = sumC_j$ - 维护点 $(sumC_j, dp[j])$ 的下凸包 - 单调队列维护最优 $j$（因 $sumT_i$ 递增） *优化效果*：时间复杂度从 $O(n^3)$ 降至 $O(n)$[^5]。 --- #### 四、注意事项 1. **避免除零错误**：若 $X_j$ 可能相等，需特判（如直接比较 $Y_j$）。 2. **凸包方向**：最小值问题用下凸包，最大值问题用上凸包。 3. **决策单调性**：若 $B(j)$ 非单调，需使用平衡树/CDQ分治维护凸包。 > 核心优势：将动态规划中枚举决策的复杂度从 $O(n)$ 降至 $O(1)$ 或 $O(\log n)$，适用于大规模问题[^2][^3]。 ---
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