【线性代数】【第一章】行列式习题

一. 重要定理

1. 代数余子式

代数余子式之和
在这里插入图片描述

代数余子式怎么求:
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不同行同列的代数余子式=0
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2. 主要公式

主对角线行列式![[Pasted image 20241003142813.png]]
副对角线行列式![[Pasted image 20241003142819.png]]
拉普拉斯展开式![[Pasted image 20241003142902.png]]
范德蒙在这里插入图片描述

 

3. 方阵的行列式

在这里插入图片描述
 

4. 克拉默法则

 

三. 典型例题

1. 行列式计算

1.1. 数字型行列式

题型一:代数余子式降阶、拉普拉斯
  1. 通过代数余子式降阶求行列式

代数余子式降阶

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代数余子式降阶+对角线公式。
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拉普拉斯:
先换行在换列,然后再使用拉普拉斯

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B. 注意两行(列)交换时,有负号。

 
消元、代数余子式、局部下三角。
简化逻辑:消元。

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(看到局部行列式)逐行相加消元。

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去除一边的爪。-2。

 
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题型二:逐行消元,化为上三角式

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逐行(上一行的结果用于下一行)消元,变成三角式行列式。

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逐行消元,化为上三角式。

 

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代数余子式化简,然后观察x三次方的系数。

 

1.2.抽象行列式(考察行列式的性质)

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题型一. |A+B| 型的计算

利用行列式的性质:提行列式系数行列式拆开
在这里插入图片描述
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  1. 矩阵->行列式,系数提出来三次方
  2. A ∗ = A − 1 / ∣ A ∣ A^*=A^{-1}/|A| A=A1/∣A
  3. ∣ A − 1 ∣ = 1 / ∣ A ∣ |A^{-1}|=1/|A| A1=1/∣A

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利用E找共同项

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  1. 正交则: A A T = E , ∣ A ∣ 2 = 1 AA^T=E,|A|^2=1 AAT=E,A2=1
  2. 转置换成B-A,提出 ( − 1 ) 4 (-1)^4 (1)4

 

题型二. 使用特征值,使用相似

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特征值与A变型之间的关系。

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能共用同样的特征向量?

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  1. 相似则行列式相等,因为特征值一样。
  2. 因为此时B的特征值只有两个,无法通过特征值求?。所以需要通过行列式求。

 

 

题型三. 矩阵运算

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  1. 左右乘A,化简,直接求行列式,不用求逆

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  1. 拼接矩阵,得出右乘
  2. 左右两边取行列式,
  3. ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=|A|^{n-1} A=An1

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与上题思路一致。

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2. 行列式的应用

2.1. 特征多项式

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凑因式是求解本题型最佳方式。
简化成上三角,进而凑因式。

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找公因式:两行相加能够得到公因式,则能化简。************
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2.2. 克拉默法则

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直接公式。

 

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化成齐次方程组、非零矩阵=>非零解,A不是满秩。

 

2.3. 矩阵秩的概念

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3. 关于|A|=0的判断

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4. 代数余子式之和

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  1. 同行不同列,两个不同的列,代数余子式相乘=0。
  2. 因为代数余子式与第三行无关,所以重新构建第三行。

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方法1:直接求各个元素的代数余子式

方法2:分块矩阵求逆
求逆:初等变换法求逆[A:E]+分块求逆的公式。
在这里插入图片描述

注意:伴随矩阵的定义。

 

第九章 二次型 §9.1 习题 1.证明,一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同. 2.对下列每一矩阵A,分别求一可逆矩阵P,使 是对角形式: (i) (ii) (iii) 3.写出二次型 的矩阵,并将这个二次型化为一个与它等价的二次型,使后者只含变量的平方项. 4.令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵,即满足条件 . (i)A必与如下形式的一个矩阵合同: (ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数. (iii) F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩. §9.2 复数域和实数域上的二次型 1.设S是复数域上一个n阶对称矩阵.证明,存在复数域上一个矩阵A,使得 . 2.证明,任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一: 3.证明,任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同: 4.证明,一个实二次型 可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是:或者q的秩等于1,或者q的秩等于2并且符号差等于0. 5.令 证明A与B在实数域上合同,并且求一可逆实矩阵P,使得 . 6.确定实二次型 的秩和符号差. 7.确定实二次型 的秩和符号差. 8.证明,实二次型 的秩和符号差与 无关. §9.3 正定二次型 1.判断下列实二次型是不是正定的: ; 2. 取什么值时,实二次型 是正定的. 3.设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数 ,使得 是正定的. 4.证明, 阶实对称矩阵 是正定的,必要且只要对于任意 , 阶子式 5.设 是一个 阶正定实对称矩阵.证明 当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立. [提示:对 作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4.] 6.设 是任意 阶实矩阵.证明 (阿达马不等式). [提示:当 时,先证明 是正定对称矩阵,再利用习题5.] §9.4 主轴问题 1.对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得 具有对角形式: ; ; 2.设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得 . 3.设A是一个 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得 . [提示: 是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得 = .再看一下U应该怎样取.] 4.设 是一组两两可交换的 阶实对称矩阵.证明,存在一个 阶正交矩阵U,使得 都是对角形矩阵. [提示:对 作数学归纳法,并且参考7.6,习题9.]
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