【线性代数】【第一章】行列式习题

一. 重要定理

1. 代数余子式

代数余子式之和

代数余子式怎么求：

不同行同列的代数余子式=0

 

2. 主要公式

主对角线行列式
副对角线行列式
拉普拉斯展开式
范德蒙

 

3. 方阵的行列式

 

4. 克拉默法则

 

三. 典型例题

1. 行列式计算

1.1. 数字型行列式

题型一：代数余子式降阶、拉普拉斯

1. 通过代数余子式降阶求行列式

代数余子式降阶

代数余子式降阶+对角线公式。

 

拉普拉斯：
先换行在换列，然后再使用拉普拉斯

B. 注意两行（列）交换时，有负号。

 
消元、代数余子式、局部下三角。
简化逻辑：消元。

 
（看到局部行列式）逐行相加消元。

去除一边的爪。-2。

 

 

题型二：逐行消元，化为上三角式

逐行（上一行的结果用于下一行）消元，变成三角式行列式。

逐行消元，化为上三角式。

 

代数余子式化简，然后观察x三次方的系数。

 

1.2.抽象行列式（考察行列式的性质）

题型一. |A+B| 型的计算

利用行列式的性质：提行列式系数、行列式拆开

 

1. 矩阵->行列式，系数提出来三次方
2. $A^{\ast }=A^{-1}/|A|$
3. $|A^{-1}|=1/|A|$

利用E找共同项

1. 正交则：$A{A}^T=E,|A{|}^2=1$
2. 转置换成B-A，提出$(-1{)}^4$

 

题型二. 使用特征值，使用相似

特征值与A变型之间的关系。

能共用同样的特征向量？

1. 相似则行列式相等，因为特征值一样。
2. 因为此时B的特征值只有两个，无法通过特征值求？。所以需要通过行列式求。

 

 

题型三. 矩阵运算

1. 左右乘A，化简，直接求行列式，不用求逆

1. 拼接矩阵，得出右乘
2. 左右两边取行列式，
3. $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

与上题思路一致。

 

2. 行列式的应用

2.1. 特征多项式

凑因式是求解本题型最佳方式。
简化成上三角，进而凑因式。

找公因式：两行相加能够得到公因式，则能化简。************

 

2.2. 克拉默法则

直接公式。

 

化成齐次方程组、非零矩阵=>非零解，A不是满秩。

 

2.3. 矩阵秩的概念

 

3. 关于|A|=0的判断

 

 

4. 代数余子式之和

1. 同行不同列，两个不同的列，代数余子式相乘=0。
2. 因为代数余子式与第三行无关，所以重新构建第三行。

方法1：直接求各个元素的代数余子式

方法2：分块矩阵求逆
求逆：初等变换法求逆[A:E]+分块求逆的公式。

注意：伴随矩阵的定义。