CF525E Anya and Cubes

这是一篇关于CF525E问题的博客,讨论如何在限制条件下使用阶乘符号改变序列中数字的和,使其等于特定目标值S的方案数。由于20!>10^16,当序列中的数大于20时,无法将其变为该数的阶乘。博主采用了双向搜索的方法来解决这个问题。

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题目

给你nnn个数,n≤26n≤26n26,初始序列为aia_iai,1≤ai≤1091≤a_i≤10^91ai109

你有kkk!!! ,每个!!!可以使序列中的一个数变成ai!a_i!ai!kkk不一定要用完)
例如5!=1205!=1205!=120

求:选出任意个数使他们和的等于SSS的方案数(0≤S≤1016)(0≤S≤10^{16})(0S1016)

题解

首先20!>101620!>10^{16}20!>1016,于是当ai>20a_i>20ai>20的时候,不能让aia_iai变成ai!a_i!ai!
这就少了很多情况。
接下来,定义Map[k][Sum]Map[k][Sum]Map[k][Sum]为使用kkk个阶乘符号,和为SumSumSum的方法数。
双向搜索即可。

#include <bits/stdc++.h>
#include <hash_map>
#define MAXN 30
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') {
        if (ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (ch>='0'&&ch<='9') {
        x=(x*10)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int a[MAXN],fac[MAXN],n,k,S;
unordered_map<int,int>Map[MAXN];
inline void Init(){
	fac[1]=1;
	for (register int i=2;i<=20;++i){
		fac[i]=fac[i-1]*i;
	}
}
//三种状态:不选,选,阶乘
void dfs1(int l,int r,int Sum,int usek){
	if (l>r){
		Map[usek][Sum]++;
		return ;
	}
	dfs1(l+1,r,Sum,usek);
	dfs1(l+1,r,Sum+a[l],usek);
	if (a[l]<=20) dfs1(l+1,r,Sum+fac[a[l]],usek+1);
}
int ans;
void dfs2(int l,int r,int Sum,int usek){
	if (l>r){
		for (register int i=0;i<=k-usek;++i){//还能用多少k 
			ans+=Map[i][S-Sum];
		}
		return ;
	}
	dfs2(l+1,r,Sum,usek);
	dfs2(l+1,r,Sum+a[l],usek);
	if (a[l]<=20) dfs2(l+1,r,Sum+fac[a[l]],usek+1);
} 
#undef int
int main(){
#define int long long
	Init();
	n=read(),k=read(),S=read();
	for (register int i=1;i<=n;++i){
		a[i]=read();
	}
	dfs1(1,n/2,0,0);
	dfs2(n/2+1,n,0,0);
	printf("%lld\n",ans);
}

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