codeforces 525E Anya and Cubes（暴力，meet-in-the-middle）

最新推荐文章于 2019-11-18 11:06:47 发布

slowlight93

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分类专栏： ACM.暴力

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本文探讨了一种利用meet-in-the-middle思想解决阶乘问题的方法，通过将方块按值大小排序并分组，采用深度优先搜索（DFS）策略在较小的搜索空间内找到满足条件的选择方法数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：
有n个方块，上面写着一些自然数，还有k个感叹号可用。 $k<=n$
你可以选任意个方块，然后选一些贴上感叹号使上面的数值变成阶乘，然后把方块上的值加起来会得到一个和。
求和等于S的选择方法数。
$n <= 26$
思路：
每个方块可以选，不选，选了且变成阶乘这三种状态。
所以总的状态是 $3^{26}$
题目中提到了meet-in-the-middle的思想
就是把方块排序，然后均分为两半，先穷举前一半，保存其状态，然后穷举后一半，同时看有没有前一半的状态可以和他合并得到解。于是搜索空间被成功地缩小到了 $3^{n/2}$

const int Maxn = 30;

LL a[Maxn], tab[Maxn], S;
map<LL, LL> ma[30];
int n, k, half;

void dfs1(int cur, LL sum, int x) {
    if (cur == half) {
        //cout << "dfs1: " << x << ' ' << sum << endl;
        ma[x][sum] += 1;
        return;
    }
    dfs1(cur+1, sum, x);
    if (sum + a[cur] <= S)
        dfs1(cur+1, sum+a[cur], x);
    if (x < k && a[cur] < 20 && sum + tab[a[cur]] <= S) {
        //cout << "d: sum: " << sum << ' ' << " new sum: " << sum + tab[a[cur]] << endl;
        dfs1(cur+1, sum + tab[a[cur]], x+1);
    }
}

LL ans;
void dfs2(int cur, LL sum, int x) {
    if (cur == n) {
        rep(i, x, k)
            if (ma[i-x].count(S-sum)) {
                ans += ma[i-x][S-sum];
                //cout << "dfs2: " << x << ' ' << sum << endl;
            }
        return;
    }
    dfs2(cur+1, sum, x);
    if (sum + a[cur] <= S)
        dfs2(cur+1, sum+a[cur], x);
    if (x < k && a[cur] < 20 && sum + tab[a[cur]] <= S)
        dfs2(cur+1, sum + tab[a[cur]], x+1);
}

LL solve() {
    if (n == 1) {
        int ret = 0;
        if (a[0] == S) ++ret;
        if (a[0] < 20 && tab[a[0]] == S) ++ret;
        return ret;
    }
    half = n/2;
    dfs1(0, 0, 0);
    ans = 0;
    dfs2(half, 0, 0);
    return ans;
}