Gamma分布与逆Gamma分布

最新推荐文章于 2025-03-09 11:52:15 发布

尬维

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分类专栏：概率学习文章标签：概率论

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41875052/article/details/79843374

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本文详细介绍了Gamma分布和逆Gamma分布的概念、概率密度函数、期望与方差及其特性。Gamma分布常用于建模等待时间，而逆Gamma分布在统计推断中有着重要应用。通过分部积分法可推导Gamma分布的期望。特例中提到了一些具体形式的分布。此外，还讨论了逆Gamma分布的期望和方差。

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本博客仅作为博主的学习笔记，转载自优快云博主：weixin_41875052。

原文链接：

https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41875052/article/details/79843374

Gamma分布

定义：

若随机变量x的概率密度函数为

则称x服从Gamma分布，记作： $x\sim Ga(\alpha ,\lambda )$

期望及方差：

$E\left ( log x \right )=\Psi (\alpha)-log \beta$

其中期望的第二个等式推导： $\alpha$ 与 $\alpha +1$ 的分部积分法

性质：

$\Gamma \left ( \alpha+1 \right )= \alpha\Gamma \left ( \alpha \right )$ ;

$\Gamma \left ( 1 \right )= 1$ ;

当 $\alpha$ 为整数，则 $\Gamma \left ( \alpha +1 \right )= \alpha !$ ;

特例：

逆Gamma分布

定义：

若随机变量x的概率密度函数为：

则称x服从逆Gamma分布，记作： $x\sim IG\left ( \alpha ,\lambda \right )$

期望及方差：

特例：

若随机变量 $x\sim Ga\left ( \alpha ,\lambda \right )$ ,则 $\frac{1}{x}\sim IG \left ( \alpha, \lambda\right )$

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