02 Conex Set凸集

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[02]Conex Set

1 Set

1.1 Affine Set

Line:两点($x_1$ ,$x_2$) 确定 ($\theta$ )一条直线 。 $x=\theta x_1+(1-\theta x_2)$,

Affine Set： 集合中任意两点连成的直线上的点均在集合中。
Example:{x|Ax=b}

1.2Convex Set

Line Segment:between $x_1$ and $x_2$。 $x=\theta x_1+(1-\theta x_2)$ ,$0<=\theta <=1$
Convex Set :集合中任意两点连成的线段上的点均在集合中。

Example:单纯形(多面体) { x ∣ A x ⪯ b , C x = d } \{x|Ax\preceq b,Cx=d\} {x∣Ax⪯b,Cx=d} ,
B ( x c , r ) = { x c + r u ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 < = 1 } B(x_c,r)=\{x_c+ru||u||_2<=1\} B(xc​,r)={xc​+ru∣∣u∣∣2​<=1},
E ( x c , P ) = { x ∣ ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) < = 1 } = { x c + A u ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 < = 1 } E(x_c,P)=\{x|(x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)<=1\}=\{x_c+Au||u||_2<=1\} E(xc​,P)={x∣(x−xc​)TP−1(x−xc​)<=1}={xc​+Au∣∣u∣∣2​<=1}

1.3Cone

射线 $\theta x_1,\theta >=0$.
Cone Set::集合中任意一点形成的射线上的点均在集合中。

Example :x轴正半轴
Convex Cone :$x={\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2,\theta >=0$
Norm Cone: { ( x , t ) ∈ R n + 1 ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ < = t ) \{(x,t)\in R^{n+1}|||x||<=t) {(x,t)∈Rn+1∣∣∣x∣∣<=t)
Positive semidefinite Cone { X ∈ S + n ∣ X ⪰ 0 } \{X\in S^n_+|X \succeq 0\} {X∈S+n​∣X⪰0}
其中范数锥以及半正定锥比较重要。
proper cone:

• closed 闭的 包含其边界
• solid 内部非空
• pointed 没有线
• 例子：$R_{+}^n$,$S_{+}^n$,非负多项式锥
  K = { x ∈ R n ∣ x 1 + x 2 t + x 3 t 2 + . . . + x n t n − 1 t ∈ [ 0 , 1 ] } K=\{x\in R^n|x_1+x_2t+x_3t^2+...+x_nt^{n-1} t\in[0,1]\} K={x∈Rn∣x1​+x2​t+x3​t2+...+xn​tn−1t∈[0,1]}

对偶锥 dual cone:
K ∗ = { y ∣ y T x ≥ 0 f o r a l l x ∈ K } K^*=\{ y|y^Tx\ge 0 for all x \in K\} K∗={y∣yTx≥0forallx∈K}
对偶和逼近是优化中重要的两个概念

1.4Combination and hull

Affine Combination:$x=\theta x_1+(1-\theta x_2)$
Convex Combination: $x=\theta x_1+(1-\theta x_2)$ ,$0<=\theta <=1$
Cone Combinayion： $x=\theta x_1+(1-\theta x_2)$ ,$\theta \ge 0$
给定一些离散点他们的（仿射，凸，锥）组合形成新的集合就是（仿射，凸，锥）集。

2 Opeartion That Preserve Convexity

2.1Intersection

If $S_1,S_2$are convex ,$S_1\cap S_2$ are Conex
多面体是超平面和半空间的交集

2.2Affine Function

$f(x)=Ax+b$ image ofconvex set under f is convex
$f^{-}1$同

2.3Perspective and Linear-fractional Function

Perspection function $P(x,t)=x/t$， d o m P = { ( x , t ) ∣ t > 0 } domP=\{(x,t)|t>0\} domP={(x,t)∣t>0}投影 降低一个维度
Linear-fractional Function $f(x)=Ax+b/c^{T}x+d$ 放射函数和投影函数的复合。

2.4relation

从几何考虑 凸集各个维度进行线性变换 保凸

3 Separating and Supporting Hyperplanes

任意两个不相交凸集存在一个超平面将两者分离

支撑超平面 边界点处的切线

凸集任意边界点都存在一个支撑超平面。