Affine set 和 convex set 的定义

什么是 affine set

定义：假设有一个集合 $C\subseteq {\mathbb{R}}^n$, 如果连接集合 $C$ 当中的任何两点构成的直线也在集合 $C$ 之中，那么我们就说集合 $C$ 是一个 affine set。

如果用数学语言来表述，就是对于任何 $x_1,x_2\in C$，对任意 $\theta \in \mathbb{R}$，我们有 $\theta x_1+(1-\theta )x_2\in C$。如果一个集合满足这个性质，我们就说这个集合是一个 affine set。

什么是 convex set

Convex set 的定义与 affine set 的定义类似，区别在于 convex set 要求连接集合 $C$ 当中的任何两点构成的线段也在集合 $C$ 之中。

定义：假设有一个集合 $C\in {\mathbb{R}}^n$, 如果连接集合 $C$ 当中的任何两点构成的线段也在集合 $C$ 之中，那么我们就说集合 $C$ 是一个 convex set。

用数学语言来描述，就是对于任何 $x_1,x_2\in C$，对任意 $0\le \theta \le 1$，我们有 $\theta x_1+(1-\theta )x_2\in C$。如果一个集合满足这个性质，我们就说这个集合是一个 convex set。

从空间结构上来说，对于一个 convex set，连接其中的两个点，所得到的线段也在这个 convex set 中。所以下图代表的集合就不是 convex set。

关于 convexity 的几个性质

除了定义，我们还有如下的几个关于 convexity 和 affine 的性质。

定理1：如果一个集合 $C\in {\mathbb{R}}^n$ 是一个 convex set，$x_1,x_2,\cdots ,x_k$ 是集合 $C$ 里的 $k$ 个点，那么对于 ${\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_k=1$, ${\theta }_i\ge 0,1\le i\le k$，我们有 ${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_k{x}_k$ 也是集合 $C$ 中的一个点。

也就是说，对于 convex set 的定义中的两个点的情况，我们可以推广到任意 $k$ 个点的情况。

我们用数学归纳法来证明上面的定理。当 $k=1$ 时，结论自然成立。当 $k=2$ 时，就是 convex set 的定义。假设结论对 $k$ 成立，$k\ge 2$，我们考虑 $k+1$ 的情况。令 $A={\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_{k+1}{x}_{k+1}$。对于 ${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots {\theta }_{k+1}$ 这 k + 1 k + 1