置换群 学习笔记

置换群 学习笔记

参考博客：

https://www.cnblogs.com/maoyiting/p/14171300.html#/cnblog/works/article/14171300

详细定义 & 证明可以看上面的博客，这里主要给出两个定理及其应用。

Burnside 引理

表述：

对于一个置换群 $G$，有

$$L=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{X}^g$$

其中 $L$ 表示 $G$ 作用下，等价类（或者说人话，本质不同的方案）的数量。$X^g$ 为 $G$ 中的一个置换 $g$ 下，不动点的数量（或者说，经过 $g$ 作用后还是它本身的方案数）。

判断不动点看起来很麻烦，但推荐根据下面的 Polya 定理进行应用。

Polya 定理

其实这两个定理真的没啥区别。

我们接着上面 Burnside 引理继续说。不动点不好找？我们把置换 $g$ 分若干成循环置换，当且仅当每个循环置换内部的颜色一样时它才是不动点。于是，我们找到了判断不动点的好用的方法：用你有的颜色填所有的元素，要求每个循环置换的颜色相同。

有了上面的阐述，很轻松地推出 Polya 定理的形式。其实和上面的并无区别。

$$L=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{m}^{c(g)}$$

例题

https://www.luogu.com.cn/training/1026

P4980

https://www.luogu.com.cn/problem/P4980

经典的环染色问题。解题第一步，要数有哪些置换。

本题一共有 $n$ 个置换：逆时针旋转 $k(1\le k\le n)$ 个元素（注意数置换的时候不能把等价的算重）。如果我们可以对每个置换求得其下的循环置换的个数就解决了本题。很容易发现，“逆时针旋转 $k$ 个元素”的置换可以拆成 $\gcd (n,k)$ 个循环置换。于是根据 Polya 定理：

$$L=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{n}^{\gcd (n.k)}$$

稍微数学推导即可。由于接下来的过程与本主题无关故略去。

UVA10601 Cubes

https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10601

正方体的旋转群。我们仍然对每种置换求出它的循环置换（注意，这里不仅关心数量还要关心大小，因为我们要对其染色），然后用组合数计算。

正方体有如下 24 种置换：

• 恒等置换，1 个。每个分解为 12 个大小为 1 的循环置换。
• 以对角线为旋转轴的置换，有 4 条对角线，每条对角线有 $2\pi /3$ 和 $4\pi /3$ 两种旋转，故有 8 个。每个分解为 4 个大小为 3 的循环置换。
• 以对立面的中心连线为旋转轴的置换，有 $3$ 个旋转轴，每个旋转轴有 $\pi /2,\pi ,3\pi /2$ 三种置换，故有 9 种。
  • 其中 $\pi /2,3\pi /2$ 的有 6 种，每个置换会分解为 3 个大小为 4 的循环置换。
  • $\pi$ 的有 3 种，每个会分解为 6 个大小为 2 的循环置换。
• 以对棱的中点连线为旋转轴。有 6 条旋转轴，每个只能进行 $\pi$ 的旋转，故有 6 个置换。每个置换可以分解为 2 个大小为 1 的循环置换 及 5 个大小为 2 的循环置换。