最长不下降子序列

定义: 

设有由n个不相同的整数组成的数列,记为:a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)

例如3,18,7,14,10,12,23,41,16,24。

若存在i1<i2<i3< … < ie (1<=i<=n)且有a(i1)<a(i2)< … <a(ie)则称为长度为e的不下降序列。如上例中3,18,23,24就是一个长度为4的不下降序列,同时也有3,7,10,12,16,24长度为6的不下降序列。

/*
  输入: 10
               3 18 7 14 10 12 23 41 16 24
  输出:  6
*/ 

1)时间复杂度为O(2^n)  递归算法

从最后一个数a[n]开始比较

对于a[n-1]   有两种可能     选      原长度加一

                                         不选    保持原长度

原长度就是利用递归不断深入   出口为i==1;

int f(int i){
	if(i==1) return 0;//出口 
	if(a[i]>=a[i-1]) return f(i-1)+1;//选 
	else  return f(i-1);             //不选 
}

直接输出f(n)  即可

2)时间复杂度为O(n^2)   dp

 1,在上一个算法中加上记忆化搜索

int dp[101]={0}; 
int f(int i){
	if(i==1) return 0;//出口 
	if(dp[i]!=0) return dp[n]; //记忆化 
	if(a[i]>=a[i-1]) return dp[i]=f(i-1)+1;//选 
	else  return dp[i]=f(i-1);             //不选 
}

2,状态转移方程 为 

dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)

#include <iostream>
using namespace std;
int dp[101],a[101];
int n;
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        dp[i]=1; //dp数组置1   因为当前数每个数都算是一个数 
    }
    int  ans = 0; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (a[i] >= a[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); // 状态转移方程
        }
        ans = max(ans, dp[i]);//取最大值 
    }
    cout << ans;//输出 
    return 0;
}

3)时间复杂度为O(nlogn)      dp+二分查找

其实就是单列出一个数组b[],用来存放遍历到i时当前长度的最长子序列

比如:

前两行为数据,后10行为遍历到第i个数时 对应的k值(及当前b[]的长度值)及对应b[]中数据

每次遍历 判断就是 当a[i]>b[k-1](上一步b[]的最后一个值)时 更新b[]  b[k]=a[i];k++;

                               否则  二分查找出b[] 中第一个大于a[i]的位置r  更新此位置的b[r]=a[i];

最后 k值即为所求长度        b[]为所求最长不下降子序列串   呜呜呜很久之后发现这个不对

不多说上代码~~~

#include<iostream>
#include<algorithm> 
using namespace std;
int a[1001],n;
int b[1001]={0},k=0;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]>b[k-1]){//如果a[i]大于b数组中的最后一个数 b[k]=a[i]且b数组长度+1 
			b[k++]=a[i];
		}else{
		  int r=upper_bound(b,b+k,a[i])-b;//二分查找在b中第一个大于a[i]的位置 
		  b[r]=a[i];
		}
	}
	cout<<k<<endl;
	return 0;
} 

 

### 使用单调队列实现最长下降子序列算法 单调队列是一种高效的优化方法,可以将原本复杂度为 \( O(n^2) \) 的动态规划算法优化到 \( O(n \log n) \)[^1]。以下是使用单调队列求解最长下降子序列(LIS)的详细算法和实现。 #### 算法思想 在求解最长下降子序列时,动态规划的核心是维护一个数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长下降子序列长度。然而,这种方法的时间复杂度较高,因此需要借助单调队列进行优化[^4]。 单调队列优化的核心思想是:对于一个单调递增的序列,只需要记录每个长度对应的最小值即可[^2]。具体来说: - 使用一个数组 `f` 来存储当前可能成为 LIS 的候选序列。 - 遍历输入序列中的每个元素,通过二分查找确定该元素在 `f` 中的位置,并更新 `f` 的值。 #### 实现步骤 以下是基于单调队列的最长下降子序列算法的 Python 实现: ```python def lis_with_monotonic_queue(nums): if not nums: return 0 # 定义一个列表 f,用于存储当前的 LIS 候选序列 f = [] for num in nums: # 使用二分查找找到 num 在 f 中的插入位置 left, right = 0, len(f) while left < right: mid = (left + right) // 2 if f[mid] <= num: # 找到第一个大于 num 的位置 left = mid + 1 else: right = mid # 如果 left 等于 len(f),说明 num 比 f 中的所有数都大,直接追加 if left == len(f): f.append(num) else: # 否则替换掉第一个大于等于 num 的数 f[left] = num # 最终 f 的长度即为最长下降子序列长度 return len(f) # 示例用法 nums = [11, 12, 13, 9, 8, 17, 19] print(lis_with_monotonic_queue(nums)) # 输出 5 ``` #### 代码解析 1. **初始化**:创建一个空列表 `f`,用于存储当前的 LIS 候选序列。 2. **遍历输入序列**:对每个元素 `num`,通过二分查找找到其在 `f` 中的插入位置。 3. **更新候选序列**: - 如果 `num` 大于 `f` 中的所有元素,则将其追加到 `f` 的末尾。 - 否则,替换掉 `f` 中第一个大于等于 `num` 的元素。 4. **返回结果**:最终 `f` 的长度即为最长下降子序列长度。 #### 时间复杂度分析 - **二分查找**:每次查找的时间复杂度为 \( O(\log n) \)。 - **总复杂度**:由于需要对每个元素进行一次二分查找,因此总时间复杂度为 \( O(n \log n) \)[^1]。 #### 注意事项 1. 单调队列优化适用于严格递增或递减的子序列问题。 2. 如果需要输出具体的最长下降子序列,可以通过额外的回溯操作实现[^3]。
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