BZOJ3884 上帝与集合的正确用法欧拉函数

最新推荐文章于 2021-04-14 20:31:43 发布

原创最新推荐文章于 2021-04-14 20:31:43 发布 · 181 阅读

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本文通过一个寓言故事介绍了集合的增长速度及如何通过递归和快速幂等算法解决取模运算问题。详细探讨了从α到θ的创造过程中元素数量的变化规律，并提供了具体的C++实现代码。

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上帝与集合的正确用法

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Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

思路来自大佬博客https://blog.youkuaiyun.com/skywalkert/article/details/43955611

还有感谢大佬相关梳理https://blog.youkuaiyun.com/ez_yww/article/details/76176970

主要是理解递归，其中快速幂和求欧拉函数都是板子

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long eular(long long n) {     
    long long ans = n;     
    for(int i = 2;i*i <= n;i++) {         
        if(n % i == 0) {             
            ans -= ans/i;             
            while(n % i == 0)                 
                n /= i;         
        }     
    }     
    if(n > 1)
        ans -= ans/n; 
    return ans; 
} 
long long pow(long long a,long long b,long long c){
    long long ans=1;
    while(b){
       if(b&1){
        ans=ans*a%c;
       }
       b=b/2;
       a=a*a%c;
    }
    return ans;
}
long long F(int n){
    if(n==1)
        return 0;
    return pow(2,F(eular(n))+eular(n),n)%n;
}
int main()
{
    int num;
    scanf("%d",&num);
    while(num--)
    {
        long long p;
        scanf("%lld",&p);
        printf("%lld\n",F(p));
    }
}