等比数列求和取余

最新推荐文章于 2025-05-21 10:06:59 发布

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分类专栏：经典算法文章标签：二分逆元快速幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41431457/article/details/90552125

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博客主要介绍了二分与快速幂的结合，以及通项公式、逆元与快速幂的运用。提到逆元相关知识，给出公式 a/b（mod p） == a*b^(p-2) (mod p)，并针对 a 与 p 是否互质给出不同处理方法，不互质时变换模值计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、二分+快速幂

#include<bits/stdc++.h>
#define lom long long 
using namespace std;
lom quick(lom a,lom b,lom c)//quick mod
{
	lom ans=1;
	a%=c;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%c;
		a=a*a%c;	
		b>>=1;
	}
	return ans%c;
}

lom sum(lom a,lom b,lom p)
{// get the sum of the sequence of equal ratio numbers by bisection
	if(b==0) return 1;
	if(a==0) return 0;
	if(b&1)
		return ((1+quick(a,b/2+1,p)) * sum(a,b/2,p))%p;
	else
		return ((1+quick(a,b/2+1,p)) * sum(a,b/2-1,p) + quick(a,b/2,p))%p;
}

int main()
{
	lom n,p,q;
	while(cin>>q>>n>>p)
		cout<<(sum(q,n,p)-1)%p<<endl;
	return 0;
}

二、通项公式+逆元+快速幂

逆元：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41431457/article/details/89813606

a/b（mod p） == a*b^(p-2) (mod p)

（1）如果与p互质，直接逆元快速幂（默认 a1==q）

#include<bits/stdc++.h>
#define lom long long
using namespace std;
 
lom quick(lom a,lom b,lom c)//快速幂取模 
{
	lom ans=1;
	a%=c;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%c;
		a=a*a%c;	
		b>>=1;
	}
	return ans%c;
}
 
lom divi(lom a,lom b,lom p)
{
	b=quick(b,p-2,p); //b的逆元 
	
	return a*b%p; 
}
int main()
{
	lom n,p,q;
	while(cin>>q>>n>>p)
	{
		lom t=q*(quick(q,n,p)-1);
		cout<<divi(t,q-1,p);
	}
	return 0;
}

（2）如果不互质变换模值 (A/B)%P == (A%(P*B))/B%P