仿射变换矩阵和透视变换矩阵的差别与联系

仿射变换矩阵和透视变换矩阵的差别与联系

透视变换矩阵可以看作是仿射变换矩阵的扩展

仿射变换矩阵和透视变换矩阵是两种常见的几何变换方法，它们之间有一些相似之处，但也有重要的区别。

1. 仿射变换矩阵：

仿射变换是一个线性变换，它保持点间的直线性和平行性，即直线依然变成直线，平行线依然保持平行关系。仿射变换包括平移、旋转、缩放、剪切等操作，但不涉及透视效应。

仿射变换的矩阵是一个 2x3 的矩阵，或者用 3x3 的同次坐标矩阵表示，形式如下：

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

仿射变换矩阵的参数意义：

• a, b, d, e：控制图像的线性变换，包括旋转、缩放、剪切。
• c, f：控制图像的平移。
• 0, 0, 1：保证矩阵是同次坐标形式。

仿射变换可以表示以下操作：

• 平移：通过 c 和 f 来控制。
• 旋转：通过调整 a 和 b 的关系。
• 缩放：通过调整 a 和 e 来控制。
• 剪切：通过 b 和 d 来实现。

2. 透视变换矩阵：

透视变换是一个更复杂的变换，它能够模拟一个三维场景投影到二维平面上。透视变换不仅会影响图像的平移、旋转、缩放等，还会引入远近感，即远离观察点的物体会显得更小，接近观察点的物体会显得更大。透视变换包括了对图像的透视效果处理，使得物体的比例和位置出现透视失真。

透视变换的矩阵是一个 3x3 的矩阵，通常如下所示：

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& 1\end{array}\right]$$

透视变换矩阵的参数意义：

• a, b, d, e：与仿射变换类似，控制图像的线性变换（旋转、缩放、剪切等）。
• c, f：控制图像的平移。
• g, h：控制透视效果，影响图像的深度和远近感，改变图像的比例。
• 1：保持同次坐标，确保透视效果的正确计算。

3. 差别与联系：

差别：

1. 变换复杂性：

   • 仿射变换是线性的，它仅通过旋转、平移、缩放和剪切等操作来变换图像，不会造成透视失真。
   • 透视变换包含了透视效果，可以引入视角和深度的改变，能够模拟三维物体在二维平面上的投影。

2. 保持的性质：

   • 仿射变换保持直线的平直性和平行性。即平行线仍然是平行线，直线不会变成曲线。
   • 透视变换则会打破平行性，远离观察点的物体看起来会更小，接近观察点的物体看起来会更大，平行线可能会聚焦于一个消失点。

3. 矩阵结构：

   • 仿射变换矩阵是 2x3 或 3x3 的矩阵（同次坐标），没有涉及透视因素（g 和 h 为 0）。
   • 透视变换矩阵是 3x3 的矩阵，包含了透视因素（g 和 h 非零）。

联系：

1. 矩阵形式：仿射变换是透视变换的一种特例。如果透视变换的矩阵中的 g 和 h 都为零，那么透视变换就变成了仿射变换。

2. 两者都可以通过坐标变换实现：它们都可以通过变换矩阵来对图像中的坐标进行映射，从而实现图像的几何变换。

3. 计算方式相似：两者都可以通过对应的源点和目标点来计算变换矩阵。对于仿射变换，通常用最小二乘法求解；对于透视变换，通常使用 cv2.getPerspectiveTransform 函数来计算。

总结：

• 仿射变换处理的是线性变换，不涉及深度或透视感。
• 透视变换能够引入远近效果，模拟三维场景投影到二维平面。
• 透视变换矩阵可以看作是仿射变换矩阵的扩展，它包括了更多的参数来处理透视效应。