仿射变换中的旋转缩放变换矩阵推导

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#矩阵 #线性代数

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本文详细推导了在图像处理中，如何通过仿射变换实现点的逆时针旋转和围绕任意点的旋转，以及针对旋转后的缩放操作，包括以原点和任意点为中心的两种情况。文中指出了《OpenCV3编程入门》和《学习OpenCV3》中文版中的错误，并强调了推导过程的重要性。

仿射变换可以将矩阵形状转换为平行四边形。可以挤压形状，但是必须保持两边平行。常见的是旋转、缩放、平移变换。缩放和平移比较简单，本文重点推导旋转缩放变换矩阵。

任意一点 $x_0,y_0)$
可以看成 $x_0, 0)$ 向量和 $0,y_0)$ 向量相加，对 $x_0,y_0)$
绕原点逆时针旋转 $\theta$ ，相当于 $x_0,0),(0,y_0)$
绕原点逆时针旋转 $\theta$ 后的向量相加。

在图像处理中图片的坐标通常使用的是左手坐标系，如图

x 轴为图片宽度方向，y轴为高度方向。

因此 $x_0, y_0)$ 点逆时针旋转 $\theta$ 后的坐标为
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\\ \end{pmatrix} = (x_0 \cos \theta + y_0 \sin \theta, -x_0\sin \theta + y_0 \cos \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$
旋转矩阵为
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} . \end{aligned}$

上面是绕原点旋转，如果是绕任意一点旋转呢？ 假设旋转中心center为
$c_x, c_y)$ 。我们把坐标原点移动到 $c_x, c_y)$ ，旧坐标系任意点(x,
y)在新坐标系下则为 $x-c_x, y-c_y)$ 。
因此在新坐标系下绕原点逆时针旋转 $\theta$ ，即
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x^*\\ y^*\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-c_x \\ y-c_y \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$
新坐标系下旋转后的点 $x^*, y^*)$ 在旧坐标系下则为 $x^* + c_x, y^* + c_y)$
。因此旧坐标系下绕 $c_x, c_y)$ 逆时针旋转 $\theta$ 后的点为
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-c_x \\ y-c_y \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_x\\ c_y\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \cos\theta x + \sin\theta y - c_x\cos\theta - c_y\sin\theta + c_x \\ -\sin\theta x + \cos\theta y + c_x\sin\theta - c_y\cos\theta + c_y \\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & (1 - \cos\theta)c_x - c_y\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta & c_x\sin\theta + (1-\cos\theta)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$

现在再考虑缩放，分2种情况:

(1) 旋转后以原点为中心缩放 scale, 记 $\cos \theta = \alpha$ ,
$\sin \theta = \beta$ ，则
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} scale & 0\\ 0 & scale \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & (1 - \cos\theta)c_x - c_y\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta & c_x\sin\theta + (1-\cos\theta)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (scale - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (scale-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$

(2) 旋转后以 $c_x, c_y)$ 为中心点缩放，分2步：
第1步，先按上面(1)变换，此时 $c_x, c_y)$ 点变为了 $scale * c_x, scale * c_y)$
；第2步 x分量平移 $c_x - scale * c_x$ ，y
分量平移 $c_y - scale * c_y$ 。因此

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (scale - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (scale-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & c_x - scale * c_x \\ 0 & 0 & c_y - scale * c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (1 - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (1-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$