洛谷 p1865 区间质数个数

本文介绍了一种计算指定区间内质数数量的方法,并提供了两种实现方案:一种使用线性筛加前缀和的方式,另一种则采用欧拉筛配合线段树的方法。这两种算法都可用于快速解决区间质数计数问题。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目

叫做A % B Promblem其实是为了吸引我们点进来..

题目描述

区间质数个数

输入输出格式

输入格式
一行两个整数 询问次数n,范围m
接下来n行,每行两个整数 l,r 表示区间
输出格式
对于每次询问输出个数 t,如l或r∉[1,m]输出 Crossing the line

输入输出样例

输入样例#1
2 5
1 3
2 6
输出样例#1
2
Crossing the line

说明

【数据范围和约定】
对于20%的数据 1<=n<=10 1<=m<=10
对于100%的数据 1<=n<=1000 1<=m<=1000000 -10^9<=l<=r<=10^9 1<=t<=1000000


方法一 线性筛 + 前缀和

当然也可以欧拉筛,比线性筛快多啦!
Ac代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m,l,r;
int f[1000005];//前缀和数组 
bool prime[1000005];//true is prime,false is not.

void init()
{
    memset(prime,1,sizeof(prime));
    prime[0]=prime[1]=false;//线性筛 
    for(int i=4;i<=m;i+=2) prime[i]=true;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            for(int j=i<<1;j<=m;j+=i)
                prime[j]=false;
        }
    }
    f[0]=f[1]=0;//前缀和 
    f[2]=1,f[3]=2;
    for(int i=4;i<=m;i++)
        f[i]=prime[i]?f[i-1]+1:f[i-1];
        //三目运算符,相当于
        //{
        //  if(prime[i]) f[i]=f[i-1]+1;
        //  else f[i]=f[i-1];
        //}
int main()
{
    int ans;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();//初始化
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        if(l<1||r>m)
        {
            printf("Crossing the line\n");
            continue;
        }
        printf("%d\n",f[r]-f[l-1]);//前缀和其实没啥好说的..
    }
}

方法二 欧拉筛 + 线段树

当然也可以线性筛,不过比欧拉筛慢多啦!
Ac代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N=1000000+5;
int prime[N],cnt=0,n,m,ans;
bool isprime[N];
struct Segtree{
    int l,r,
        sum;
}st[N<<2];

void oula()
{
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[0]=isprime[1]=false;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(isprime[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt,i*prime[j]<=m;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
void Build(int o,int l,int r)
{
    st[o].l=l,st[o].r=r;
    if(l==r)
    {
        st[o].sum=(isprime[l])?1:0;
        return;
    }
    int lch=(o<<1),rch=(o<<1|1),m=(l+r)>>1;
    Build(lch,l,m);
    Build(rch,m+1,r);
    st[o].sum=st[lch].sum+st[rch].sum;
}
int Query(int o,int l,int r)
{
    if(st[o].l==l&&st[o].r==r) return st[o].sum;
    int m=(st[o].l+st[o].r)>>1;
    if(r<=m) return Query(o<<1,l,r);
    if(l>m) return Query(o<<1|1,l,r);
    return Query(o<<1,l,m)+Query(o<<1|1,m+1,r);
}
int main()
{
    int l,r;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    oula();
    Build(1,1,m);
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        if(l<1||r>m)
        {
            puts("Crossing the line");
            continue;
        }
        printf("%d\n",Query(1,l,r));
    }
    return 0;
}
### 实现思路 为了高效地计算给定区间\[L,R\]中的素数个数,可以采用埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes),该方法对于较小范围非常有效。然而,由于题目中\(R\)的最大值可达2147483647而\(R-L \leq 1000000\),直接应用此算法会超出内存限制。因此,更优的选择是分段筛选(Segmented Sieve)。这种方法允许只处理特定区间素数判定。 具体来说: - 预先找出不超过\(\sqrt{R}\)的所有素数。 - 使用这些素数来标记从\(L\)到\(R\)范围内哪些数字是非素数。 - 统计剩余未被标记的数字数量作为最终结果。 下面提供了一个Python版本的具体实现方案[^1]。 ```python import math def segmented_sieve(L, R): limit = int(math.sqrt(R)) + 1 prime = [True] * limit # Find all primes up to sqrt(R) p = [] for i in range(2, limit): if prime[i]: p.append(i) for j in range(i*i, limit, i): prime[j] = False # Mark non-primes within the segment from L to R using found primes. is_prime = [True]*(R - L + 1) for pr in p: start = max(pr * pr, ((L + pr - 1) // pr) * pr) for num in range(start, R+1, pr): if L <= num <= R: is_prime[num - L] = False result = sum(is_prime) - (1 if L<=1 else 0) # Exclude '1' as it's not a prime number. return result if __name__ == "__main__": L, R = map(int, input().split()) print(segmented_sieve(L, R)) ``` 这段程序首先通过标准的Eratosthenes筛找到了不大于根号下最大边界的所有素数;接着利用这些已知的小素数去排除掉目标区间内的合数;最后统计剩下的可能成为素数的数量,并输出这个数目作为答案。
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