概念(理论)---积分方程1：赋范线性空间，线性算子，有界线性算子和连续线性算子

理论

在赋范线性空间中，线性算子是有界线性算子的充要条件是它也是一个连续线性算子。

概念

小学我们是学已有运算的各种性质，大学就是通过以前学的性质来定义运算

线性空间，就是定义了加法（满足交换律，结合律，有零元和负元）和数乘（与实数做运算满足分配率和结合律）的空间
赋范线性空间，在线性空间的基础上如果我们定义范数（类似于绝对值，它满足满足0元范数为0，对数乘线性，满足三角不等式），那么这个空间我们成为赋范线性空间
算子，定义于$\Omega \in X$而取值于$Y$的映射
线性算子，如果一个算子$T$，满足
$$\alpha T{x}_1+\beta T{x}_2=(\alpha x_1+\beta x_2)T$$那么就称该算子为线性算子
有界线性算子，就是存在$M$满足对于任何的$x$都有，$$\Vert Tx{\Vert }_y\le M\Vert x{\Vert }_x$$则$T$就是一个有界线性算子

注意到，不是说$\Vert TX\Vert$是有界的，而是说，$\frac{\Vert Tx{\Vert }_y}{\Vert x{\Vert }_x}$是有界的

连续线性算子，简单来说，对于任意的一个$ϵ$，总存在一个$\delta$，当$x_1$和$x_2$的距离小于$\delta$的时候，$$\Vert T{x}_1-T{x}_2\Vert <ϵ$$

证明

在赋范线性空间中，线性算子是有界线性算子的充要条件是它也是一个连续线性算子。
$\Rightarrow$
已知TT