二分法和黄金分割法的区别和联系，附Python代码

二分法

二分法的本质是求函数y=f(x)在y*处的解x*，使得f(x*)=y*。也就是说二分法的目的是求函数在确定值y*处的解。

假设g(x) = f(x) - y*，则有g(x*) = f(x*)-y* = 0，所以求函数在确定值y*处的解等价于求函数在0处的解。设有函数f(x)，且有a<b, f(a)f(b)<0，则求x*使得f(x*)=0的Python代码如下：

def solve_with_binary(func, a, b, epslon=0.0001):
    """
    求x使得func(x)==0
    :param func: 被求解的一元函数
    :param a: 解区间的下界，有func(a)*func(b) < 0
    :param b: 解区间的上界，有func(a)*func(b) < 0
    :param epslon: 解的精度范围
    :return:
    """
    assert a < b and func(a) * func(b) < 0

    while b - a >= epslon:
        mid = (a + b)/2
        y_mid = func(mid)
        if y_mid == 0:
            return mid
        if y_mid < 0:
            a = mid
        else:
            b = mid
    return (a+b)/2

func = lambda x: x**3-7  # 求解7的立方根
x_star = solve_with_binary(func, 0, 3)
print(x_star, x_star**3)

运行结果是：1.9129486083984375     7.000191298821303二分法

黄金分割法

黄金分割法和二分法的共同点是：

1. 都是求函数y=f(x)的解x*。
2. 都是使用迭代法求解。

两者的区别是：

1. 二分法的目的是求y等于确定值y*的解x*，而黄金分割法的目的是求f(x)最大值处的解x*，即x*=argmax(f(x))。求函数f(x)的最小值等价于求-f(x)的最大值。
2. 二分法每次迭代时取当前区间的中点进行考察，根据结果排除当前区间的一半。黄金分割法每次迭代时取当前区间的两个黄金分割点进行考察，根据结果排除当前区间的38.2%。

设有区间[0, 1]，则两个黄金分割点分别是：