全微分的定义

全微分的定义

如果函数$z=f(x,y)$在$(x,y)$处的全增量
$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
可以表示为
$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$
其中A、B不依赖于$\Delta x$，$\Delta y$，仅与$x$，$y$有关，$\rho$趋近于0($\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$)，此时称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微分，$A\Delta x+B\Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分，记为$dz$即
$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$
该表达式称为函数$z=f(x,y)$在$(x,y)$处(关于$\Delta x$, $\Delta y$)的全微分。

定理

定理1

若函数$z=f(x,y)$在点$p_0(x_0,y_0)$处可微，则$z=f(x,y)$在$p_0(x_0,y_0)$处连续，且各个偏导数存在，并且有$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=A$，$f_y^{\prime }(x_0,y_0)=B$。即
$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$$
其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$

或写作
$$\Delta z=f(x_0+x,y_0+y)-f(x_0,y_0)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)y+o(\rho )$$
其中$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$

定理2

若函数$z=f(x,y)$在点$p_0(x_0,y_0)$处的偏导数$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$，$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$连续，则函数$f(x,y)$在点$p_0$处可微。

定理3

若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，则该函数在点$(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$必存在，且函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分为：
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$$

可微的充分条件

$$\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta z-f_x^{\prime }(x,y)\Delta x-f_y^{\prime }(x,y)\Delta y}{\rho }=0$$
或写作
$$\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)-f_x^{\prime }(x,y)-f_y^{\prime }(x,y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$$
或写作
$$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0$$

例题

设函数$z=f(x,y)$在点$(0,1)$的某邻域内可微，且在该邻域内有$f(x,y＋1)=1＋2x+3y＋o(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }[f(0,e^{\frac{1}{n}}){]}^n$=____。

解答：$e^3$。由题设，由$f(x,y)$在点$(0,1)$处连续，知$f(0,1)=\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }f(x,y+1)=1$，故
$$f(0+x,1+y)-f(0,1)=2x+3y+o(\rho )$$
由全微分的定义（定理1），得$f_y^{\prime }(0,1)=3$，故
$$\underset{n\to \infty }{\lim }[f(0,e^{\frac{1}{n}}){]}^n=e^{\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln [f(0,e^{\frac{1}{n}})-1+1]}$$
而
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln [f(0,e^{\frac{1}{n}})-1+1]=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(0,e^{\frac{1}{n}})-f(0,1)}{e^{\frac{1}{n}}-1}\cdot \frac{e^{\frac{1}{n}-1}}{\frac{1}{n}}=f_y^{\prime }(0,1)=3$$
故原式$=e^3$