【算法】算法基础课模板大全——第一篇

Zh0uKal1

已于 2025-01-19 01:55:11 修改

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分类专栏：算法 C++ 数据结构文章标签：算法 c++ c语言蓝桥杯深度优先

于 2025-01-19 01:36:37 首次发布

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由于本文章内容太长，导致文章不能以一篇博客形式发布出来，所以我将分为两篇博客进行发布。
【算法】算法基础课模板大全——第一篇
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此笔记适用于AcWing网站的算法基础课，所有的资源链接、代码模板全部来源于网络，这个文档只是做了一些收集和整理，感谢文档中的所有资源原作者们！

笔记作者QQ：946808247

笔记QQ群聊：1021549627

欢迎一起交流技术

一、基础算法

快速排序算法模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    //递归的终止情况
    if (l >= r) return;
    
     //选取分界线。这里选数组中间那个数
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    //划分成左右两个部分
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    //对左右部分排序
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

边界问题

因为边界问题只有这两种组合，不能随意搭配

x不能取q[l]和q[l+r>>1];
quick_sort(q,l,i-1),quick_sort(q,i,r);

x不能取q[r]和q[(l+r+1)>>1];
quick_sort(q,l,j),quick_sort(q,j+1,r);

归并排序算法模板

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    //递归的终止情况
    if (l >= r) return;
    //第一步：分成子问题
    int mid = l + r >> 1;
    //第二步：递归处理子问题
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    //第三步：合并子问题
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
   	//第四步：复制回原数组
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

逆序对数量

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。

思路：归并排序

举个例子：

在合并 {4 ,5} {1 , 2} 的时候，首先我们判断 1 < 4，我们即可统计出逆序对为2，为什么呢？这利用了数组的部分有序性。因为我们知道 {4 ,5} 这个数组必然是有序的，因为是合并上来的。此时当 1比4小的时候，证明4以后的数也都比1大，此时就构成了从4开始到 {4,5}这个数组结束，这么多个逆序对（2个），此时利用一个临时数组，将1存放起来，接着比较2和4的大小，同样可以得到有2个逆序对，于是将2也放进临时数组中，此时右边数组已经完全没有元素了，则将左边剩余的元素全部放进临时元素中，最后将临时数组中的元素放进原数组对应的位置。

最后接着向上合并~

逆序对数量.png

using namespace std;

typedef long long  LL;
const int N = 100010;
int n;
int q[N], tmp[N];
LL merge_sort(int l, int r) {
    if (l >= r)return 0;
    int mid = (l + r) >> 1;
    LL res = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r);
    // 归并的过程
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j])tmp[k++] = q[i++];
        else {
            tmp[k++] = q[j++];
            res += mid - i + 1;
        }
    //扫尾
    while (i <= mid)tmp[k++] = q[i++];
    while (j <= r)tmp[k++] = q[j++];
    //物归原主
    for (i = l, j = 0; i <= r; j++, i++)q[i] = tmp[j];
    return res;
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)cin >> q[i];
    cout << merge_sort(0, n - 1) << endl;
    return 0;
}

整数二分算法模板

对lower_bound来说，它寻找的就是第一个满足条件“值大于等于x”的元素的位置；对upper_bound函数来说，它寻找的是第一个满足“值大于 x”的元素的位置。

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;//左加右减
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;//如果下方else后面是r则这里加1
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;//左加右减
    }
    return l;
}

浮点数二分算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

分数的四则运算模板

// 分数的标识
struct Fraction {
	int u, d; // up down
};
// 求公约数
int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
// 分数的化简
Fraction reduction(Fraction f) {
	// 如为负数，将负号调整到分子
	if (f.d < 0) {
		f.d = abs(f.d);
		f.u = -f.u;
	}
	// 分子为0，将分母置为1
	if (f.u == 0)f.d = 1;
	else { // 分子分母有公约数
		int g = gcd(abs(f.u), f.d);
		if (g != 1) {
			f.d /= g;
			f.u /= g;
		}
	}
	return f;
}
// 分数的打印
void print(Fraction f) {
	f = reduction(f);
	if (f.d == 1)printf("%d", f.u); // 整数
	else if (abs(f.u) > abs(f.d)) { // 假分数
		printf("%d %d/%d", f.u / f.d, abs(f.u) % f.d, f.d);
	} else { //真分数
		printf("%d/%d", f.u, f.d);
	}
	printf("\n");
}
// 分数加法
Fraction add(Fraction a, Fraction b) {
	Fraction c;
	c.u = a.u * b.d + a.d * b.u;
	c.d = a.d * b.d;
	return reduction(c);
}
// 分数减法
Fraction sub(Fraction a, Fraction b) {
	Fraction c;
	c.u = a.u * b.d - a.d * b.u;
	c.d = a.d * b.d;
	return reduction(c);
}
// 分数乘法
Fraction multi(Fraction a, Fraction b) {
	Fraction c;
	c.u = a.u * b.u;
	c.d = a.d * b.d;
	return reduction(c);
}
// 分数的除法
Fraction divide(Fraction a, Fraction b) {
	Fraction c;
	c.u = a.u * b.d;
	c.d = a.d * b.u;
	return reduction(c);
}

高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &a,vector<int> &b){
    //c为答案
    vector<int> c;
    //t为进位
    int t=0;
    for(int i=0;i<a.size()||i<b.size();i++){
        //不超过a的范围添加a[i]
        if(i<a.size())t+=a[i];
        //不超过b的范围添加b[i]
        if(i<b.size())t+=b[i];
        //取当前位的答案
        c.push_back(t%10);
        //是否进位
        t/=10;
    }
    //如果t!=0的话向后添加1
    if(t)c.push_back(1);
    return c;
}

高精度减法

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    //答案
    vector<int> C;
    //遍历最大的数
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        //t为进位
        t = A[i] - t;
        //不超过B的范围t=A[i]-B[i]-t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        //合二为一，取当前位的答案
        C.push_back((t + 10) % 10);
        //借位操作
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    //去除前导零
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

高精度比大小（cmp函数）

//高精度比大小
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B) {
	if (A.size() != B.size())
		return A.size() > B.size();
	for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
		if (A[i] != B[i])
			return A[i] > B[i];
	return true;
}

高精度乘低精度

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    //类似于高精度加法
    vector<int> C;
    //t为进位
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        //不超过A的范围t=t+A[i]*b
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        //取当前位的答案
        C.push_back(t % 10);
        //进位
        t /= 10;
    }
    //去除前导零
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

高精度乘高精度

高精度加减乘除：https://www.bilibili.com/video/BV1LA411v7mt/

vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B) {
    vector<int> C(A.size() + B.size() + 10); // 初始化为 0，C的size可以大一点

    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
        for (int j = 0; j < B.size(); j++)
            C[i + j] += A[i] * B[j];
    for (int i = 0, t = 0; i < C.size(); i++) { // i = C.size() - 1时 t 一定小于 10
        t += C[i];
        C[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 必须要去前导 0，因为最高位很可能是 0
    return C;
}

高精度除低精度

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)//高精度A，低精度b，余数r
{
    vector<int> C;//答案
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];//补全r>=b
        C.push_back(r / b);//取当前位的答案
        r %= b;//r%b为下一次计算
    }
    reverse(C.begin(), C.end());//倒序为答案
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去除前导零
    return C;
}

高精度除高精度

高精度加减乘除：https://www.bilibili.com/video/BV1LA411v7mt/

vector<int> div(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &r) {
	vector<int> C;
	if (!cmp(A, B)) {
		C.push_back(0);
		r.assign(A.begin(), A.end());
		return C;
	}
	int j = B.size();
	r.assign(A.end() - j, A.end());
	while (j <= A.size()) {
		int k = 0;
		while (cmp(r, B)) {
			r = sub(r, B);
			k ++;
		}
		C.push_back(k);
		if (j < A.size())
			r.insert(r.begin(), A[A.size() - j - 1]);
		if (r.size() > 1 && r.back() == 0)
			r.pop_back();
		j++;
	}
	reverse(C.begin(), C.end());
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
		C.pop_back();
	return C;
}

一维前缀和

前缀和可以用于快速计算一个序列的区间和，也有很多问题里不是直接用前缀和，但是借用了前缀和的思想。

预处理:s[i]=a[i]+s[i-1]
求区间[l,r]:sum=s[r]-s[l-1]
"前缀和数组"和"原数组"可以合二为一

应用

const int N=100010;
int a[N];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]+a[i];
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",a[r]-a[l-1]);
    }
    return 0;
}

二维前缀和

计算矩阵的前缀和：s[x][y] = s[x - 1][y] + s[x][y -1] - s[x-1][y-1] + a[x][y]
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
计算子矩阵的和：s = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 -1]

应用

int s[1010][1010];

int n,m,q;

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&s[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    while(q--){
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

一维差分

差分是前缀和的逆运算，对于一个数组a，其差分数组b的每一项都是a [ i ]和前一项a [ i − 1 ]的差。

注意：差分数组和原数组必须分开存放！！！！

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

应用

using namespace std;
int a[100010],s[100010];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];   
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=a[i]-a[i-1];// 读入并计算差分数组
    while(m--){
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        s[l]+=c;
        s[r+1]-=c;// 在原数组中将区间[l, r]加上c
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s[i]+=s[i-1];
        cout<<s[i]<<' ';
    }// 给差分数组计算前缀和，就求出了原数组
    return 0;
}

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

应用

const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);      //构建差分数组
        }
    }
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);//加c
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //二维前缀和
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

关于前缀和与差分的相关博客链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_39757593/article/details/129219491

位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

双指针算法

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
    // 具体问题的逻辑
}
常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

离散化

离散化的本质是建立了一段数列到自然数之间的映射关系（value -> index)，通过建立新索引，来缩小目标区间，使得可以进行一系列连续数组可以进行的操作比如二分，前缀和等…

离散化首先需要排序去重：

排序：sort(alls.begin(),alls.end())
去重：alls.earse(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

应用

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N], s[N];

vector<int> alls;//存入下标容器
vector<PII> add, query;//add增加容器，存入对应下标和增加的值的大小
//query存入需要计算下标区间和的容器
int find(int x)
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)//查找大于等于x的最小的值的下标
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1;//因为使用前缀和，其下标要+1可以不考虑边界问题
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});//存入下标即对应的数值c

        alls.push_back(x);//存入数组下标x=add.first
    }

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});//存入要求的区间

        alls.push_back(l);//存入区间左右下标
        alls.push_back(r);
    }

    // 区间去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

    // 处理插入
    for (auto item : add)
    {
        int x = find(item.first);//将add容器的add.secend值存入数组a[]当中，
        a[x] += item.second;//在去重之后的下标集合alls内寻找对应的下标并添加数值
    }

    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    // 处理询问
    for (auto item : query)
    {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);//在下标容器中查找对应的左右两端[l~r]下标，然后通过下标得到前缀和相减再得到区间a[l~r]的和
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

区间合并

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

二、数据结构

单链表

const int N=100010;

int head,e[N],ne[N],idx;
//初始化
void init(){
    head=-1;
    idx=0;
}
//在链表头部添加节点
void add_to_head(int x){
    e[idx]=x,ne[idx]=head,head=idx++;
}
//在位置k添加节点x
void add(int k,int x){
    e[idx]=x,ne[idx]=ne[k],ne[k]=idx++;
}
//删除位置k的节点
void remove(int k){
    ne[k]=ne[ne[k]];
}

应用

int main(){
    int m;
    init();
    cin>>m;
    while(m--){
        int k,x;
        char op;
        cin>>op;
        if(op=='H'){
            cin>>x;
            add_to_head(x);
        }else if(op=='D'){
            cin>>k;
            if(!k)head=ne[head];
            remove(k-1);
        }else {
            cin>>k>>x;
            add(k-1,x);
        }
    }
    for(int i=head;i!=-1;i=ne[i])cout<<e[i]<<' ';
    cout<<endl;
    return 0;
}

双链表

const int N=100010;

int e[N],l[N],r[N],idx;

//初始化
void init(){
    l[1]=0;
    r[0]=1;
    idx=2;
}

//在节点a的右边插入一个数x
void insert(int a,int x){
    e[idx]=x;
    l[idx]=a,r[idx]=r[a];
    l[r[a]]=idx,r[a]=idx++;
}

//删除节点a
void remove(int a){
    l[r[a]]=l[a];
    r[l[a]]=r[a];
}

应用

int main(){
    int m;
    cin>>m;
    init();
    while(m--){
        string op;
        cin>>op;
        int k,x;
        if(op=="L"){//在最左端插入数x
            cin>>x;
            insert(0,x);
        }else if(op=="R"){//在最右端插入数x
            cin>>x;
            insert(l[1],x);
        }else if(op=="D"){//删除第k个插入的数
            cin>>k;
            remove(k+1);
        }else if(op=="IL"){//在第k个位置的左侧插入一个数
            cin>>k>>x;
            insert(l[k+1],x);
        }else if(op=="LR"){//在第k个位置的右侧插入一个数
            cin>>k>>x;
            insert(k+1,x);
        }
    }
    for(int i=r[0];i!=1;i=r[i])printf("%d ",e[i]);
    cout<<endl;
    return 0;
}

栈

// tt表示栈顶
int stk[N], tt = 0;
// 向栈顶插入一个数
stk[ ++ tt] = x;
// 从栈顶弹出一个数
tt -- ;
// 栈顶的值
stk[tt];
// 判断栈是否为空，如果 tt > 0，则表示不为空
if (tt > 0)
{

}

应用

const int N=100010;
int stk[N],tt;

int main(){
    int m;
    cin>>m;
    while(m--){
        string op;
        int x;
        cin>>op;
        if(op=="push"){
            cin>>x;
            stk[tt++]=x;
        }else if(op=="pop"){
            tt--;
        }else if(op=="query"){
            cout<<stk[tt-1]<<endl;
        }else{
            if(!tt)cout<<"YES"<<endl;
            else cout<<"NO"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

队列

普通队列

// hh 表示队头，tt表示队尾
int q[N], hh = 0, tt = -1;

// 向队尾插入一个数
q[ ++ tt] = x;

// 从队头弹出一个数
hh ++ ;

// 队头的值
q[hh];

// 判断队列是否为空，如果 hh <= tt，则表示不为空
if (hh <= tt)
{

}

应用

int const N=100010;

int que[N],hh,tt=-1;

int main(){
    int m;
    cin>>m;
    while(m--){
        string op;
        int x;
        cin>>op;
        if(op=="push"){
            cin>>x;
            que[++tt]=x;
        }else if(op=="query"){
            cout<<que[hh]<<endl;
        }else if(op=="pop"){
            hh++;
        }else{
            if(hh>tt)cout<<"YES"<<endl;
            else cout<<"NO"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

循环队列

// hh 表示队头，tt表示队尾的后一个位置
int q[N], hh = 0, tt = 0;

// 向队尾插入一个数
q[tt ++ ] = x;
if (tt == N) tt = 0;

// 从队头弹出一个数
hh ++ ;
if (hh == N) hh = 0;

// 队头的值
q[hh];

// 判断队列是否为空，如果hh != tt，则表示不为空
if (hh != tt)
{

}

单调栈

常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
int tt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    while (tt && check(stk[tt], i)) tt -- ;
    stk[ ++ tt] = i;
}

应用

找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
stack<int> stk;
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    stk.push(-1);
    for (int i = 0; i < n; i ++){
        int x; 
        cin >> x;
        while (stk.size() && stk.top() >= x) stk.pop();
        cout << stk.top() << " ";
        stk.push(x);
    }
    return 0;
}

单调队列

常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
    while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh ++ ;  // 判断队头是否滑出窗口
    while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt -- ;
    q[ ++ tt] = i;
}

const int N = 1000010;
int a[N];
int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];//读入数据
    deque<int> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while(q.size() && q.back() > a[i]) //新进入窗口的值小于队尾元素，则队尾出队列
            q.pop_back();
        q.push_back(a[i]);//将新进入的元素入队
        if(i - k >= 1 && q.front() == a[i - k])//若队头是否滑出了窗口，队头出队 
            q.pop_front();
        if(i >= k)//当窗口形成，输出队头对应的值
            cout << q.front() <<" ";
    }
    q.clear();
    cout << endl;

    //最大值亦然
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while(q.size() && q.back() < a[i]) q.pop_back();
        q.push_back(a[i]);
        if(i - k >= 1 && a[i - k] == q.front()) q.pop_front(); 
        if(i >= k) cout << q.front() << " ";

    }
}

KMP字符串匹配

视频讲解：[最浅显易懂的 KMP 算法讲解_哔哩哔哩_bilibili]：https://www.bilibili.com/video/BV1AY4y157yL

博客讲解（推荐）：[详解KMP算法（上） - LeNotFound 的博客 - 洛谷博客 (luogu.org)]：(https://lenotfound.blog.luogu.org/xiang-jie-kmp-suan-fa-shang)

下标从1开始的kmp算法

const int N = 100010, M = 1000010;
int n, m;
int ne[N];
char s[M], p[N];
int main()
{
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i ++ )
    {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ; 
        ne[i] = j;
    }//处理ne数组
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i ++ )
    {
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ;
        if (j == n)
        {
            printf("%d ", i - n);
            j = ne[j];
        }
    }//匹配算法
    return 0;
}

// s[]是长文本，p[]是模式串，n是s的长度，m是p的长度
// 求模式串的Next数组：
for (int i = 2, j = 0; i <= m; i ++ )
{
    while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ;
    ne[i] = j;
}

// 匹配
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i ++ )
{
    while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ;
    if (j == m)
    {
        j = ne[j];
        // 匹配成功后的逻辑
    }
}

下标从0开始的kmp算法

const int N = 1000010;

int n, m;
char s[N], p[N];
int ne[N];

int main()
{
    cin >> m >> p >> n >> s;
    ne[0] = -1;
    for (int i = 1, j = -1; i < m; i ++ )
    {
        while (j >= 0 && p[j + 1] != p[i]) j = ne[j];
        if (p[j + 1] == p[i]) j ++ ;
        ne[i] = j;
    }
    for (int i = 0, j = -1; i < n; i ++ )
    {
        while (j != -1 && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ;
        if (j == m - 1)
        {
            cout << i - j << ' ';
            j = ne[j];
        }
    }
    return 0;
}

string版的kmp

using namespace std;

int main()
{
    int n, m;
    string s, p;
    cin >> n >> p >> m >> s;

    vector<int> nxt(n); // nxt[j]表示p[0:j]的最长前后匹配缀的长度
    for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
        // j可以初始化为nxt[i-1]的值，由于nxt[i-1]是长度且j的坐标从0开始，
        // 所以j直接指向p中i-1的最长前缀后一位, 可以直接用来和p[i]尝试匹配
        int j = nxt[i-1];
        // p[i]和p[j]不匹配的话，j指向nxt[j-1]，同理，也可以用来和p[i]进行尝试匹配
        while(j && p[i] != p[j]) j = nxt[j-1];
        if(p[i] == p[j]) j++;
        nxt[i] = j;
    }

    for(int i = 0, j = 0; i < m; ++i)
    {
        while(j && s[i] != p[j]) j = nxt[j-1];
        if(s[i] == p[j]) j++;
        if(j == n)
        {
            cout << i-n+1 << ' ';
            j = nxt[j-1];
        }
    }
    return 0;
}

二叉树的存储与遍历

const int N = 1e6 + 10;

// 二叉树的存储,l数组为左节点,r数组为右结点
// l[i] 存储的下标为i节点的左节点下标， r[i] 存储的下标为i节点的右节点下标
int l[N], r[N];
// 存储节点的数据
char w[N];
// 节点的下标指针
int idx = 0;

// 先序创建
int pre_create(int n) {
	cin >> w[n];
	if (w[n] == '#') return -1;
	l[n] = pre_create(++idx);
	r[n] = pre_create(++idx);
	return n;
}

// 中序创建
int in_create(int n) {
	if (w[n] == '#') return -1;
	l[n] = in_create(++idx);
	cin >> w[n];
	r[n] = in_create(++idx);
	return n;
}

// 后序创建
int back_create(int n) {
	if (w[n] == '#') return -1;
	l[n] = back_create(++idx);
	r[n] = back_create(++idx);
	cin >> w[n];
	return n;
}

// 先序遍历
void pre_print(int n){
	if (w[n] != '#') cout << w[n] << ' ';
	if (l[n] > 0) pre_print(l[n]);
	if (r[n] > 0) pre_print(r[n]);
}

// 中序遍历
void in_print(int n){
	if (l[n] > 0) in_print(l[n]);
	if (w[n] != '#') cout << w[n] << ' ';
	if (r[n] > 0) in_print(r[n]);
}

// 后序遍历
void back_print(int n){
	if (l[n] > 0) back_print(l[n]);
	if (r[n] > 0) back_print(r[n]);
	if (w[n] != '#') cout << w[n] << ' ';
}

// 层序遍历
void bfs(int root){
	queue<int> que;
	que.push(root);
	while (!que.empty()) {
		int t = que.front();
		cout << w[t] << ' ';
		que.pop();
		if (l[t] > 0 && w[l[t]] != '#')
			que.push(l[t]);
		if (r[t] > 0 && w[r[t]] != '#')
			que.push(r[t]);
	}
}

应用

int main(){
    // 先序创建
    pre_create(++idx);
    // 中序创建
    // in_create(++idx);
    // 后序创建
    // back_create(++idx);
    // 先序遍历
	pre_print(1);
	// 中序遍历
	in_print(1);
	// 后序遍历
	back_print(1);
	// 层序遍历
	bfs(1);
    // 测试数据abc##de#g##f###
    // 输出如下：
    // a b c d e g f 
    // c b e g d f a 
    // c g e f d b a 
    // a b c d e f g 
    return 0;
}

Trie树

Trie 树是一种多叉树的结构，每个节点保存一个字符，一条路径表示一个字符串。

相关链接：https://www.acwing.com/solution/content/27771/

int son[N][26], cnt[N], idx;
// 0号点既是根节点，又是空节点
// son[][]存储树中每个节点的子节点
// cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量

// 插入一个字符串
void insert(char *str)
{
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p] ++ ;
}

// 查询字符串出现的次数
int query(char *str)
{
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}

const int N = 100010;

int son[N][26], cnt[N], idx;
char str[N];

void insert(char *str)
{
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p] ++ ;
}//插入

int query(char *str)
{
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}//查询

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        char op[2];
        scanf("%s%s", op, str);
        if (*op == 'I') insert(str);
        else printf("%d\n", query(str));
    }

    return 0;
}

并查集

(1)朴素并查集：

    int p[N]; //存储每个点的祖宗节点

    // 返回x的祖宗节点
    int find(int x)
    {
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }

    // 初始化，假定节点编号是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;

    // 合并a和b所在的两个集合：
    p[find(a)] = find(b);


(2)维护size的并查集：

    int p[N], size[N];
    //p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量

    // 返回x的祖宗节点
    int find(int x)
    {
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }

    // 初始化，假定节点编号是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        p[i] = i;
        size[i] = 1;
    }

    // 合并a和b所在的两个集合：
    size[find(b)] += size[find(a)];
    p[find(a)] = find(b);


(3)维护到祖宗节点距离的并查集：

    int p[N], d[N];
    //p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离

    // 返回x的祖宗节点
    int find(int x)
    {
        if (p[x] != x)
        {
            int u = find(p[x]);
            d[x] += d[p[x]];
            p[x] = u;
        }
        return p[x];
    }

    // 初始化，假定节点编号是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        p[i] = i;
        d[i] = 0;
    }

    // 合并a和b所在的两个集合：
    p[find(a)] = find(b);
    d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量

应用

const int N=100010;
int p[N],n,m;

int find(int x){//找到祖宗节点+路径压缩
    if(p[x]!=x)p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;
    while(m--){
        char op[2];
        int a,b;
        scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
        if(op[0]=='M')p[find(a)]=find(b);
        else {
            if(find(a)==find(b))puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }
    return 0;
}

堆

// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1
// ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置
// hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的
int h[N], ph[N], hp[N], size;

// 交换两个点，及其映射关系
void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);

应用：堆排序

const int N=100010;
int heap[N],cnt;

void down(int u){
    int t=u;
    if(u*2<=cnt&&heap[u*2]<=heap[t])t=u*2;
    if(u*2+1<=cnt&&heap[u*2+1]<=heap[t])t=u*2+1;
    if(t!=u){
        swap(heap[t],heap[u]);
        down(t);
    }
}//down操作

void up(int u){
    while(u/2&&heap[u/2]>heap[u]){
        swap(heap[u/2],heap[u]);
        u>>=1;
    }
}//up操作

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&heap[i]);
    cnt=n;
    for(int i=n/2;i;i--)down(i);
    while(m--){
        printf("%d ",heap[1]);
        heap[1]=heap[cnt--];
        down(1);
    }
    return 0;
}

一般hash

(1) 拉链法
    int h[N], e[N], ne[N], idx;

    // 向哈希表中插入一个数
    void insert(int x)
    {
        int k = (x % N + N) % N;
        e[idx] = x;
        ne[idx] = h[k];
        h[k] = idx ++ ;
    }

    // 在哈希表中查询某个数是否存在
    bool find(int x)
    {
        int k = (x % N + N) % N;
        for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
            if (e[i] == x)
                return true;

        return false;
    }

(2) 开放寻址法
    int h[N];

    // 如果x在哈希表中，返回x的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置
    int find(int x)
    {
        int t = (x % N + N) % N;
        while (h[t] != null && h[t] != x)
        {
            t ++ ;
            if (t == N) t = 0;
        }
        return t;
    }

字符串哈希

核心思想：将字符串看成P进制数，P的经验值是131或13331，取这两个值的冲突概率低
小技巧：取模的数用2^64，这样直接用unsigned long long存储，溢出的结果就是取模的结果

typedef unsigned long long ULL;
ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储 P^k mod 2^64

// 初始化
p[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    h[i] = h[i - 1] * P + str[i];
    p[i] = p[i - 1] * P;
}

// 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值
ULL get(int l, int r)
{
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

STL

STL容器.png

视频讲解：[100 STL 容器_哔哩哔哩_bilibili]：https://www.bilibili.com/video/BV1tF411G73c/

博客讲解：[C++ STL总结 | 行码棋 (wyqz.top)]：https://wyqz.top/p/870124582.html

vector, 变长数组，倍增的思想
    size()  返回元素个数
    empty()  返回是否为空
    clear()  清空
    front()/back()
    push_back()/pop_back()
    begin()/end()
    []
    支持比较运算，按字典序

pair<int, int>
    first, 第一个元素
    second, 第二个元素
    支持比较运算，以first为第一关键字，以second为第二关键字（字典序）

string，字符串
    size()/length()  返回字符串长度
    empty()
    clear()
    substr(起始下标，(子串长度))  返回子串
    c_str()  返回字符串所在字符数组的起始地址

queue, 队列
    size()
    empty()
    push()  向队尾插入一个元素
    front()  返回队头元素
    back()  返回队尾元素
    pop()  弹出队头元素

priority_queue, 优先队列，默认是大根堆
    size()
    empty()
    push()  插入一个元素
    top()  返回堆顶元素
    pop()  弹出堆顶元素
    定义成小根堆的方式：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;

stack, 栈
    size()
    empty()
    push()  向栈顶插入一个元素
    top()  返回栈顶元素
    pop()  弹出栈顶元素

deque, 双端队列
    size()
    empty()
    clear()
    front()/back()
    push_back()/pop_back()
    push_front()/pop_front()
    begin()/end()
    []

set, map, multiset, multimap, 基于平衡二叉树（红黑树），动态维护有序序列
    size()
    empty()
    clear()
    begin()/end()
    ++, -- 返回前驱和后继，时间复杂度 O(logn)

    set/multiset
        insert()  插入一个数
        find()  查找一个数
        count()  返回某一个数的个数
        erase()
            (1) 输入是一个数x，删除所有x   O(k + logn)
            (2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器
        lower_bound()/upper_bound()
            lower_bound(x)  返回大于等于x的最小的数的迭代器
            upper_bound(x)  返回大于x的最小的数的迭代器
    map/multimap
        insert()  插入的数是一个pair
        erase()  输入的参数是pair或者迭代器
        find()
        []  注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn)
        lower_bound()/upper_bound()

unordered_set, unordered_map, unordered_multiset, unordered_multimap, 哈希表
    和上面类似，增删改查的时间复杂度是 O(1)
    不支持 lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，--

bitset, 圧位
    bitset<10000> s;
    ~, &, |, ^
    >>, <<
    ==, !=
    []

    count()  返回有多少个1

    any()  判断是否至少有一个1
    none()  判断是否全为0

    set()  把所有位置成1
    set(k, v)  将第k位变成v
    reset()  把所有位变成0
    flip()  等价于~
    flip(k) 把第k位取反

三、搜索与图论

树与图的存储

树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。

邻接矩阵

邻接矩阵：g[a][b] 存储边a->b的距离

邻接表

// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// 添加一条边a->b 
void add(int a, int b)
{
    // 存下b的值，b下一个指向a的下一个节点，a的下一个节点指向b
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);

树与图的遍历

时间复杂度O(n+m)，n表示点数，m表示边数

深度优先遍历

int dfs(int u)
{
    st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

DFS代码框架

ans;						// 答案，用全局变量表示
void dfs(层数, 其它参数){
    if(出局判断){		 	 // 到达最底层，或者满足条件退出
        更新答案;		 	 // 答案一般用全局变量表示
    	return;				// 返回到上一层
    }
    (剪枝)				    // 在进一步DFS之前剪枝
    for (枚举下一层可能的情况)  // 对每个情况继续DFS
        if (used[i] == 0){  // 如果状态i没有用过，就可以进入下一层
            used[i] = 1;	// 标记状态i,表示已经用过，在更底层不能再使用
            dfs(层数 + 1, 其它参数);// 下一层
            used[i] = 0;		 // 恢复状态，回溯时不影响上一层对这个状态的使用
        }						
    return;						// 返回到上一层
}

应用：数字全排列

数字全排列

#include <iostream>

using namespace std;

int res[10],b[10],n;

void dfs(int k){
    if(k==n){//k==n则输出n个数字
        for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",res[i]);
        cout<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!b[i]){//判断是否被用过
            res[k]=i;//当前k位存入位置
            b[i]=1;//表示被占用
            dfs(k+1);
            b[i]=0;//恢复现场
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    dfs(0);//从0开始枚举
    return 0;
}

应用：树的重心

给定一颗树，树中包含 $n$ 个结点（编号 $1 \sim n$ ）和 $n - 1$ 条无向边。

请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中节点个数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

using namespace std;

const int N = 100010, M = N * 2;//无向图n条边时，最多2n个idx，因为每条边在邻接表中会出现两次

int n;//n个结点,n-1条边
int h[N], e[M], ne[M], idx;//n个链表头，e每一个结点的值，ne每一个结点的next指针
int ans = N;//最小的最大值
bool st[N];//状态数组，防止子节点搜索父节点

void add(int a, int b)//a->b
{//e记录当前点的值(地址->值),ne下一点的地址(地址->地址)，h记录指向的第一个点的地址(值->地址)
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}//头插法

int dfs(int u)//通过h数组找到子结点的向
{
    st[u] = true;//st标记当前点被搜过

    int size = 0, sum = 0;
    //size删掉元素后各个子连通块的最大值
    //sum当前子树大小，遍历叶节点时，返回1

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])//遍历单链表，链表末端初始化为-1
    {
        int j=e[i];
        if(st[j])continue;//此处防逆向dfs
        int s = dfs(j);//s各个子连通块的个数
        size = max(size, s);//size删掉元素后各个连通块的最大值
        sum += s;//各个子连通块个数之和
    }

    size = max(size, n - sum - 1);//取最大子连通块与父连通块的最大值
    ans = min(ans, size);//全局变量ans存最小的最大值
	//注意：本题若求最大的最大值，则只需去除任意叶节点即可，即n-1
    return sum + 1;//各个子连通块，当前节点之和
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    memset(h, -1, sizeof h);//n个头节点全部指向-1

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )//n个结点，n-1条边
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);//不知道子节点还是父节点，所以需要建两条边可以双向查找
    }

    dfs(1);//结点编号为1~n且可能只有一个结点，则参数只能为1
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

应用：n-皇后问题

n皇后搜索图示

using namespace std;

const int N = 11;

char q[N][N];//存储棋盘
bool dg[N * 2], udg[N * 2], cor[N];//点对应的两个斜线以及列上是否有皇后

int n;

void dfs(int r)
{
    if(r == n)//放满了棋盘，输出棋盘
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            for(int j = 0; j < n; j++)
                cout << q[i][j];
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
        return;
    }

    for(int i = 0; i < n; i++)//第 r 行，第 i 列 是否放皇后
    {
        if(!cor[i] && !dg[i + r] && !udg[n - i + r])//不冲突，放皇后
        {
            q[r][i] = 'Q';
            cor[i] = dg[i + r] = udg[n - i + r] = 1;//对应的 列， 斜线 状态改变
            dfs(r + 1);//处理下一行
            cor[i] = dg[i + r] = udg[n - i + r] = 0;//恢复现场
            q[r][i] = '.';
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            q[i][j] = '.';
    dfs(0);
    return 0;
}

宽度优先遍历

queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1); // 1号点入队

while (q.size())
{
    // 移出节点
    int t = q.front();
    q.pop();
    // 获取被移出的节点的下一层所有节点
    for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
    {
        // 获取节点值
        int j = e[i];
        // 将下一层所有未遍历过的节点入队列
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
            q.push(j);
        }
    }
}

应用：走迷宫

typedef pair<int,int> PII;// 声明pair时候必须要在代码前面写上using namespace std;

const int N=110;
int g[N][N],f[N][N],n,m;

int bfs(int x,int y){
    queue<PII> que;
    que.push({x,y});
    int dx[4]={0,1,0,-1},dy[4]={1,0,-1,0};
    while(!que.empty()){
        PII t=que.front();
        que.pop();
        g[t.first][t.second]=1;
        for(int i=0;i<4;i++){
            int a=t.first+dx[i],b=t.second+dy[i];
            if(a>=0&&b>=0&&a<n&&b<m&&!g[a][b]){
                g[a][b]=1;
                f[a][b]=f[t.first][t.second]+1;
                que.push({a,b});
            }
        }
    }
    return f[n-1][m-1];
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    cout<<bfs(0,0)<<endl;
    return 0;
}

应用：八数码

using namespace std;

int bfs(string state) {
    queue<string> q;
    unordered_map<string, int> d;

    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
    string ed = "12345678x";
    q.push(state);
    d[state] = 0;

    while (q.size()) {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        if (t == ed)//等于结果就输出步数
            return d[t];
        int distance = d[t];
        int k = t.find('x');//寻找x
        int x = k / 3, y = k % 3;//计算下标
        for (int i = 0; i < 4; i ++ ) {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if (a >= 0 && a < 3 && b >= 0 && b < 3) {
                swap(t[a * 3 + b], t[k]);//交换
                if (!d.count(t)) {//不存在就入队
                    d[t] = distance + 1;
                    q.push(t);
                }
                swap(t[a * 3 + b], t[k]);//还原
            }
        }
    }
    return -1;
}

int main() {
    char s[2];
    string state;
    for (int i = 0; i < 9; i ++ ) {
        cin >> s;
        state += *s;
    }
    cout<<bfs(state)<<endl;
    return 0;
}

拓扑排序

啥是拓扑排序？

一个有向图，如果图中有入度为 0 的点，就把这个点删掉，同时也删掉这个点所连的边。

一直进行上面出处理，如果所有点都能被删掉，则这个图可以进行拓扑排序。

拓扑排序讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1XV411X7T7

纯净版

bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;

    // d[i] 存储点i的入度
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return tt == n - 1;
}

解说版

using namespace std;
const int N = 100010;
int e[N], ne[N], idx; //邻接表存储图
int h[N];//邻接表的每个头链表
int q[N], hh = 0, tt = -1; //队列保存入度为0的点，也就是能够输出的点
int n, m; //保存图的点数和边数
int d[N];//保存各个点的入度

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void topsort() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//遍历一遍顶点的入度。
        if (!d[i])//如果入度为0，则可以入队列
            q[++tt] = i;
    }
    while (tt >= hh) { //循环处理队列中点的
        int a = q[hh++];
        for (int i = h[a]; i != -1; i = ne[i]) {
            int b = e[i]; //a 有一条边指向b
            d[b]--;//删除边后，b的入度减1
            if (!d[b])//如果b的入度减为 0,则 b 可以输出，入队列
                q[++tt] = b;
        }
    }
    if (tt == n - 1) {//如果队列中的点的个数与图中点的个数相同，则可以进行拓扑排序
        for (int i = 0; i < n; i++)//队列中保存了所有入度为0的点，依次输出
            printf("%d ", q[i]);
    } else//如果队列中的点的个数与图中点的个数不相同，则可以进行拓扑排序
        cout << -1;
}

int main() {
    cin >> n >> m; //保存点的个数和边的个数
    memset(h, -1, sizeof h); //初始化领接矩阵
    while (m--) { //依次读入边
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        d[b]++;//顶点b的入度+1
        add(a, b); //添加到邻接矩阵
    }
    topsort();//进行拓扑排序
    return 0;
}

Dijkstra算法

本质Dijkstra算法是贪心

图解Dijkstra算法：https://www.bilibili.com/video/BV1uT4y1p7Jy

朴素版

时间复杂是 $O(n^2+m)$ ，n表示点数，m表示边数

int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定

// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int t = -1;     // 每次在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        // 用t更新其他点的距离
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);

        st[t] = true;
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

应用

const int N = 510, M = 100010;

int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;//邻接表存储图
int state[N];//state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离
int dist[N];//dist 数组保存源点到其余各个节点的距离
int n, m;//图的节点个数和边数

void add(int a, int b, int c)//插入边
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void Dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));//dist 数组的各个元素为无穷大
    dist[1] = 0;//源点到源点的距离为置为 0
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历 dist 数组，找到没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点t
        {
            if (!state[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;
        }

        state[t] = 1;//state[i] 置为 1。

        for (int j = h[t]; j != -1; j = ne[j])//遍历 t 所有可以到达的节点 i
        {
            int i = e[j];
            dist[i] = min(dist[i], dist[t] + w[j]);//更新 dist[j]
        }


    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof(h));//邻接表初始化

    cin >> n >> m;
    while (m--)//读入 m 条边
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        add(a, b, w);
    }

    Dijkstra();
    if (dist[n] != 0x3f3f3f3f)//如果dist[n]被更新了，则存在路径
        cout << dist[n];
    else
        cout << "-1";
}

堆优化版

时间复杂度 $O (m l o g n)$ ，n表示点数，m表示边数

typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);//距离初始化为无穷大
    dist[1]=0;//1->1的节点距离为0
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;//小根堆
    heap.push({0,1});//插入距离和节点编号
    
    while(heap.size()){
        auto t=heap.top();//取距离源点最近的点
        heap.pop();
        
        int ver=t.second,distance=t.first;//ver：节点编号，distance源点距离ver
        if(st[ver])continue;//如果距离已经确定，则跳过该点
        st[ver]=true;
        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i])//更新ver所指向的节点距离
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[ver]+w[i]){
                dist[j]=dist[ver]+w[i];
                heap.push({dist[j],j});//距离变小，则入堆
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f)return -1;
    return dist[n];
}

关于Dijkstra的相关博客链接：

[AcWing 849. Dijkstra求最短路 I：图解详细代码（图解） - AcWing：https://www.acwing.com/solution/content/38318/

[AcWing 850. Dijkstra求最短路 II：详解+代码注释 - AcWing]：https://www.acwing.com/solution/content/38323/

Bellman-Ford算法

本质Bellman-Ford算法是动态规划

时间复杂度 $O (nm)$ ，n表示点数，m表示边数

注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。

Bellman-ford算法动态规划图示.png

上图为Bellman-ford草稿图

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N],backup[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        memcpy(back,dist,sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > backup[a] + w)
                dist[b] = backup[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

应用

int n,m,k;
const int N=512,M=10012;
struct Edge{
    int a,b,w;
}e[M];
int dist[N];
int back[N];
void bellman_ford(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    for(int i=0;i<k;i++){
        memcpy(back,dist,sizeof dist);
        for(int j=0;j<m;j++){
            int a=e[j].a,b=e[j].b,c=e[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],back[a]+c);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        e[i]={a,b,w};
    }
    bellman_ford();
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2)cout<<"impossible"<<endl;
    else cout<<dist[n]<<endl;
    return 0;
}

问题：为什么把每一条边用不等式刷k次就是k条件下的值？

你可以想象这个图是1->2->3->4…->n这样一条直线。比如说第一次迭代，为什么只有与原点相连的点才能被更新dist呢？因为原点的dist是0，其他点的dist是+∞，满足dist[2] > dist[1]+c，而+∞并不>+∞+c，所以第一次迭代结束就是不超过一条边走到i节点最短路的距离，依次类推，第二次迭代，只有3会被更新，因为只有1、2的dist不是+∞，第二次迭代就是不超过2条边走到i节点的最短距离。这就是为什么k次迭代最多是走了k条边，同时也是为什么一共只用迭代n-1次，因为n个点的有向图，如果能走到，原点到n号点的最短距离最多是n-1次，也就是1->2->…->n直线这种。

SPFA算法（队列优化的Bellman-Ford算法）

时间复杂度平均情况下 $O (m)$ ，最坏情况下 $O (nm)$ ，n表示点数，m表示边数

模板

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

应用

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;//节点数量和边数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;//邻接矩阵存储图
int dist[N];//存储距离
bool st[N];//存储状态

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//距离初始化为无穷大
    dist[1] = 0;//初始化1到1的距离为0
    queue<int> que;//队列
    que.push(1);//1入队

    while (que.size())//判断是否存在
    {
        int t=que.front();
        que.pop();//获取第一个并出队
        st[t]=false;//第一个取消占用
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){//遍历第一个可以到达的结点
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i]){//1号点可到达的节点距离是否大于上次的距离距离加上当前的距离
                dist[j]=dist[t]+w[i];//赋值给可到达的节点
                if(!st[j]){//如果可到达的节点未被占用
                    que.push(j);//则入队
                    st[j]=true;//占用
                }
            }
        }
    }

    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    int t=spfa();
    if(t==0x3f3f3f3f)cout<<"impossible"<<endl;
    else printf("%d\n",t);

    return 0;
}

应用：spfa判断图中是否存在负权

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N];        // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
    // 不需要初始化dist数组
    // 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。

    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;       // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

floyd算法

本质floyd算法是动态规划

时间复杂度 $O(n^3)$ ，n表示点数

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV19k4y1Q7Gj/

模板

初始化：
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )//k为中转节点
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

应用

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, Q;
int d[N][N];

void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )//k为中转节点
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c);
    }

    floyd();

    while (Q -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);

        int t = d[a][b];
        if (t > INF / 2) puts("impossible");
        else printf("%d\n", t);
    }

    return 0;
}

最短路算法总结

最短路
单源最短路：给定V中的一个顶点，称为源。要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
所有边权都是正数：
朴素Dijkstra算法 O(n^2) 适合稠密图，贪心思想
堆优化版的Dijkstra算法 O(mlogn)适合稀疏图，贪心思想

存在负权边：
Bellman-ford O(nm)，动态规划思想
SPFA 一般：O(m)，最坏O(nm)

多源汇最短路：任意两点最短路径被称为多源最短路径，即给定任意两个点，一个出发点，一个到达点，求这两个点的之间的最短路径，就是任意两点最短路径问题
Floyd算法 O(n^3)

prim算法

时间复杂度是 $O(n^2+m)$ ，n表示点数，m表示边数

int n;      // n表示点数
int g[N][N];        // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中


// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}

应用

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];

int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int t = prim();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

Kruskal算法

时间复杂度 $O (m l o g m)$ ，n表示点数，m表示边数

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;
    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }
    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

应用

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }

    int t = kruskal();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

Prim和Kruskal算法讲解

最小生成树算法视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1wG411z79G/

染色法判别二分图

什么叫二分图

有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边直接相连接！

说人话的定义：图中点通过移动能分成左右两部分，左侧的点只和右侧的点相连，右侧的点只和左侧的点相连。

下图就是个二分图：

时间复杂度是 $O (n + m)$ ，n表示点数，m表示边数

int n;      // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储图
int color[N];       // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色

// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (color[j] == -1)
        {
            if (!dfs(j, !c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

bool check()
{
    memset(color, -1, sizeof color);
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (color[i] == -1)
            if (!dfs(i, 0))
            {
                flag = false;
                break;
            }
    return flag;
}

应用

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;// 由于是无向图, 顶点数最大是N，那么边数M最大是顶点数的2倍

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!color[j])
        {
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);// 无向图，a->b, b->a
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!color[i])
        {
            if (!dfs(i, 1))
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }

    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

匈牙利算法

要了解匈牙利算法必须先理解下面的概念：

匹配：在图论中，一个「匹配」是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

下面是一些补充概念：

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。

时间复杂度 $O (nm)$ ，n表示点数，m表示边数

//遍历自己喜欢的女孩int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
    //遍历自己喜欢的女孩
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])//如果在这一轮模拟匹配中,这个女孩尚未被预定
        {
            st[j] = true;//那x就预定这个女孩了
            //如果女孩j没有男朋友，或者她原来的男朋友能够预定其它喜欢的女孩。配对成功
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    //自己中意的全部都被预定了。配对失败。
    return false;
}

// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);
    if (find(i)) res ++ ;
}

应用：二分图的最大匹配

相关题解：[AcWing 861. 二分图的最大匹配----图解 - AcWing]：https://www.acwing.com/solution/content/179030/

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
     // 和各个点尝试能否匹配
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])//打标记
        {
            st[j] = true;
            // 当前尝试点没有被匹配或者和当前尝试点匹配的那个点可以换另一个匹配
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                // 和当前尝试点匹配在一起
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    // 保存图，因为只从一遍找另一边，所以该无向图只需要存储一个方向
    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    //为各个点找匹配
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        //找到匹配
        if (find(i)) res ++ ;
    }

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}