算法基础课——第一章 基础算法（二）

---

第一章 基础算法（二）

---

高精度

---

高精度问题其实只有使用 C++ 编程语言的同学需要关注，使用 java 或 python 编程语言的同学不需要太多关注。因为 java 有大整数类，python 自带的数据范围默认就是无限大，而 C++ 没有相对应的处理大整数运算的数据结构。

高精度的考察主要分为四种：$高精度\{\begin{array}{l}加法A+B\\ 减法A-B\\ 乘法A\times a\\ 除法A÷a\end{array}$，其中 $A,B$ 的位数 $⩽10^6$，$a⩽10000$。

两个大整数相乘/相除应用的场景不多，并且 $A÷B$ 即两个大整数相除处理起来非常复杂，所以这里不作考虑。

如何存储大整数？

因为 C++ 中没有能够存储大整数的数据类型的，所以可以将大整数的每一位存在数组当中。

例如有一个大整数 $A=123456789$，那么存储到数组当中时，会出现一个问题：**低位在前还是高位在前呢？**即假设有一个数组 $s$，则应该让 $s[0]=1$ 还是让 $s[0]=9$？

应该是低位在前，即 $s[0]=9,s[1]=8\cdots s[8]=1$，这样存储会比较好。因为两个整数相加可能会存在进位，这样进位时会在高位的地方补上数字，而将高位存储到数组的末尾，可以更方便地新增数字。

即用 $s[0]$ 存储整数的个位，用 $s[1]$ 存储整数的十位，以此类推。

高精度加法

高精度加法是模拟人工加法的过程。
$$\begin{array}{cccc}& 1& 2& 3\\ +& & 8& 9\\ & 2& 1& 2\end{array}$$
所以对于两个大整数 $A,B$，加法运算就是模拟人工加法的过程，在从低位到高位相加时，考虑进位即可。
$$\begin{array}{ccccc}& A_3& A_2& A_1& A_0\\ +& & B_2& B_1& B_0\\ & C_3& C_2& C_1& C_0\end{array}$$

即 $C_0=(A_0+B_0)\%10$；

若 $A_0+B_0⩾10$，则说明需要进位，故 $C_1=(A_0+B_0)/10+(A_1+B_1)\%10$；

一般地，有 $C_i=(A_{i-1}+B_{i-1})/10+(A_i+B_i)\%10$；

如果 $A_i$ 或 $B_i$ 有其中一个不存在，则用 $0$ 代替即可。

依次类推进行下去，就可以实现模拟人工加法。

AcWing 791. 高精度加法

原题链接

给定两个正整数（不含前导 $0$），计算它们的和。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的和。

数据范围

$1\le$ 整数长度 $\le 10^5$

输入样例：

12
23

输出样例：

35

时/空限制： 1s / 64MB
来源： 模板题
算法标签：高精度

yxc’s Solution

• 在 C++ 编程语言中，可以使用vector来代替数组来存储大整数，因为vector自带size函数，可以表示数组的长度，就不需要开额外的变量，存储数组的长度这一信息了。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;


vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
//这里使用引用&，是为了增加效率，如果不加引用，在调用函数时会将 A 和 B 都复制一遍，会增加耗时
{
   
	vector<int> C;

	int tmp = 0;
	for (int i=0; i < A.size() || i < B.size(); i ++ )
	{
   
		if (i < A.size()) tmp += A[i];
		if (i < B.size()) tmp += B[i];
		C.push_back(tmp % 10);
		tmp /= 10;
	}
	if (tmp) C.push_back(tmp);
	return C;
}

int main()
{
   
	string a, b;
	vector<int> A, B;

	cin >> a >> b; // a = "123456"
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0'); // A = [6, 5, 4, 3, 2, 1]
	for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');

	vector<int> C = add(A, B);

	for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];

	return 0;
}

---

高精度减法

加减乘除的高精度运算中，大整数的存储方式都是一样的。这样更方便在需要多种运算的题目中统一变量的数据类型。

高精度减法也是模拟人工减法的过程。
$$\begin{array}{cccc}& 1& 2& 3\\ -& & 8& 9\\ & & 3& 4\end{array}$$
对于两个大整数 $A,B$，其减法过程也是模拟人工减法的过程，从低位到高位进行相减和借位。
$$\begin{array}{}\end{array}\begin{array}{ccccc}& A_3& A_2& A_1& A_0\\ -& & B_2& B_1& B_0\\ & C_3& C_2& C_1& C_0\end{array}$$

即 $C_0=A_0-B_0$；

若不够减（如 $A_i<B_i$）就需要借位，即 $A_i-B_i\{\begin{array}{ll}⩾0,& A_i-B_i\\ <0,& A_i-B_i+10\end{array}$，但若需要借位，则 $A_{i+1}$ 就会减去 $1$；

需要注意的是，高精度减法的模板是默认 $A⩾B$ 的，这样可以避免运算结果是负数，如果 $A<B$，则将它们交换就可以使用高精度减法的模板了。

因为 $A-B=-(B-A)$，故如果 $A-$