AVL树的原理及代码实现

前言

如果你还没有学习过二叉查找树，那么请你先去看看二叉查找树，因为AVL树便是从二叉查找树进化而来的，不看的话你无法理解AVL树。

链接：二叉查找树的原理及实现

如果你已经学习了二叉查找树，你会觉得二叉查找树性能在各方面都很好，就只有一丢丢的小毛病，那就是当数据非常坑时，二叉查找树退化成了一条单链表，这样各种操作的时间复杂度都变为O(n)了，怎么办呢，今天所要学习的AVL树便以其惊艳四座的高端技巧解决了这一问题，使其在任何情况下的各种操作复杂度都为O(logn)。

AVL树

AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。

在介绍AVL树时，首先要介绍一个概念——平衡度。

平衡度 = 左子树的高度 - 右子树的高度

当树上所有节点平衡度为-1，0，1时，我们认为这棵树是平衡的，当有节点的平衡度绝对值 > 1时，我们认为这棵树是不平衡的，我们就要对这个节点进行调整。

基本实现

存储实现：

AVL树与二叉查找树一样使用二叉链表实现，这样能够很好的理解，每个节点有一个元素存储值，两个指针分别指向它的左子树和右子树，还有一个元素来存储该节点的高度。

template <class elemType>
class AvlTree{
private:
    
    struct node{
        elemType data;
        node *left;
        node *right;
        int height;
        
        node(const elemType &x, node *ln, node *rn, int h = 1):data(x), left(ln), right(rn), height(h){}
    };
    
    node *root;
}

find操作：

AVL树的操作与二叉查找树的find操作原理一模一样，这里就不详细讲了，想看的可以去文首的二叉查找树的链接里看。

此处代码使用了非递归实现：

    elemType *find(const elemType &x){
        node *t = root;
        while(t != NULL && t -> data != x){
            if(t -> data > x){
                t = t -> right;
            }
            else{
                t = t -> left;
            }
        }
        
        if(t == NULL){
            return NULL;
        }
        else{
            return &(t -> data);
        }
    }

midOrder操作：

也与二叉查找树完全相同，中序遍历输出整个树的值，结果必然是一个从小到大序列。

    void midOrder(){
        midOrder(root);
    }
    void midOrder(node *p){
        if(p == NULL){
            return;
        }
        midOrder(p -> left);
        cout << p -> data << ' ';
        midOrder(p -> right);
    }

insert操作：

insert操作就与二叉查找树有些不同了，它不但要找到合适位置插入元素，还要判断插入后是不是破坏了树的平衡性，如果破坏了要对树进行调整。

先列举几种失去平衡的情况：

LL: 在节点的左子树的左子树上插入节点，使节点平衡度变为2，失去平衡

LR:在节点的左子树的右子树上插入节点，使节点平衡度变为2，失去平衡

RR:在节点的右子树的右子树上插入节点，使节点平衡度变为-2，失去平衡

RL:在节点的右子树的左子树上插入节点，使节点平衡度变为-2，失去平衡

下面来说解决办法：

LL单旋转：

如图，k2失去平衡，k2的左子树根节点