等和的分隔子集(01背包)

该博客介绍了如何解决一个数学问题,即如何将1到N的整数划分成两个和相等的子集。博主通过解释样例和使用动态规划的01背包思想,详细阐述了算法的实现,包括两个for循环的枚举过程和转移方程,并提到了空间优化的解决方案。

晓萌希望将1到N的连续整数组成的集合划分成两个子集合,且保证每个集合的数字和是相等。例如,对于N=3,对应的集合{1,2,3}能被划分成{3} 和 {1,2}两个子集合.

这两个子集合中元素分别的和是相等的。

对于N=3,我们只有一种划分方法,而对于N=7时,我们将有4种划分的方案。

输入包括一行,仅一个整数,表示N的值(1≤N≤39)。

输出包括一行,仅一个整数,晓萌可以划分对应N的集合的方案的个数。当没发划分时,输出0。

样例输入
7
样例输出
4

计蒜客上面的一道题。

主要就是两个for循环,第一个for循环,枚举出1-n,第二个for循环,枚举他们的累加和,然后更新当前1-i个数累加的方案数


dp[i][j]的意思是,用前i个数累积到j,有多少种方案

dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i];

这个转移方程的意思是,当前的方案数等于  上一个累积到j的方案数  + 上一个累积到j-i的方案数

例如 i = 3时,首先dp[3][0] = 1,dp[3][1] = 1,  dp[3][2] = 1(这几个都是直接复制前面的),    然后dp[3][3] = 1+1 = 2

就是本来已经凑成3的方案数 + 加入3后凑成3的方案数 = 2;


还有个问题就是 基层为1,即 dp[1][0] = 1,dp[2][1] = 1,dp[3][i] = 1,................

至于为什么,是为了统一转移方程,然后就需要自己去仔细想想了


以后一定回来看一遍,一定!!!

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<list>
#include<map>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

typedef long long ll;
ll dp[42][4500];

int main()
{
    int n;
    while( scanf("%d",&n) == 1 )
    {
        ll goal = (ll)( n*(n+1)/2);
        if( goal & 1 )    //如果和是一个奇数,则不能分成两份
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        goal = goal>>1;
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dp[0][0] = 1;
        for( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
        {
            for( int j = 0 ; j <= goal ; j++ )
            {
                if( j >= i )
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i];
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[n][goal]/2);
    }
    return 0;
}
/*

*/


下面是进行空间优化的写法,思路完全一样

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<list>
#include<map>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

typedef long long ll;
ll dp[4500];

int main()
{
    int n;
    while( scanf("%d",&n) == 1 )
    {
        ll goal = (ll)( n*(n+1)/2);
        if( goal & 1 )
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        goal = goal>>1;
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dp[0] = 1;
        for( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
        {
            for( int j = goal ; j >= i ; j-- )
                dp[j] = dp[j]+dp[j-i];
        }
        printf("%lld\n",dp[goal]/2);
    }
    return 0;
}


<think>嗯,用户的问题是关于如何用C++实现将一个整数数组划分为两个不相交的子集,使得它们的相等。我需要先理解用户的具体需求。根据用户提供的引用内容,特别是引用[1]中的问题描述,用户可能是在寻找类似“分割等子集”问题的解决方案。这个问题通常可以通过动态规划来解决,因为需要找到一个子集等于总的一半。 首先,我要回顾动态规划的基本思路。这个问题可以转化为0-1背包问题,其中背包的容量是总的一半。我们需要判断是否存在一些物品(数组中的元素)恰好装满这个背包。如果总是奇数,直接返回false,因为无法均分。如果总是偶数,目标就是找到为sum/2的子集。 接下来,我需要参考用户提供的引用[2]中的代码示例。用户给出的C++代码使用了二维动态规划数组dp[i][j],表示前i个元素能否组成为j的子集。初始条件是dp[i][0]=true,因为为0总可以达到。然后遍历每个元素,更新dp数组的状态。这种方法的时间复杂度是O(n*sum),空间复杂度也是O(n*sum)。不过,考虑到空间优化,可以将其压缩为一维数组,减少空间使用。 用户可能希望得到一个更高效的实现,或者更清晰的代码结构。此外,用户提到需要代码示例,所以需要确保代码的正确性可读性。比如,是否需要处理空数组的情况?在引用[2]中,代码首先检查数组长度是否为0,返回false。然后计算总,判断是否为偶数。接着初始化二维数组,并进行状态转移。 另外,用户的问题是关于划分为两个子集,而引用[4]中的内容涉及将数组划分为k个子集,这可能不是当前问题需要的,但其中的DFS方法可能对某些情况有帮助。不过,动态规划方法在时间空间上可能更优,尤其是在数组元素较大的情况下。 需要注意的是,用户提供的引用[2]中的代码可能存在一些小问题,比如二维数组的初始化是否正确,循环变量的范围是否合理。例如,在初始化时,数组的维度是len+1,而元素索引是从0到len-1,所以可能需要调整循环变量i的范围。或者在状态转移时,nums[i-1]是否正确对应到当前元素。 另外,用户可能需要代码的详细解释,所以回答时应该分步骤解释代码的逻辑,包括初始化、状态转移方程以及如何返回结果。同时,要强调关键点,比如总必须为偶数,以及如何处理每个元素的选择或不选择。 可能还需要考虑测试样例,比如用户给出的示例1示例2,确保代码能够正确处理这些情况。例如,输入[1,5,11,5]时,总是22,目标是11,是否存在子集为11的情况。 总结来说,解决这个问题的步骤应该是: 1. 计算数组总,如果为奇数,返回false。 2. 如果是偶数,目标为sum/2。 3. 使用动态规划判断是否存在子集为sum/2。 4. 优化空间复杂度,使用一维数组。 然后,编写C++代码,并详细解释每一步的作用。同时,对比不同方法的时间空间复杂度,指出优化的可能性。</think>### 算法分析与实现步骤 要实现将整数数组划分为两个相等的子集,本质是寻找子集为总一半的**0-1背包问题**。核心步骤如下: 1. **总校验**:若总为奇数直接返回false,否则目标值为$target = sum/2$ 2. **动态规划定义**:定义$dp[j]$表示是否存在子集为$j$ 3. **状态转移**:遍历数组元素,逆向更新dp数组避免重复选取 4. **终止条件**:当$dp[target] = true$时说明存在可行解 ### C++代码实现 ```cpp #include <vector> using namespace std; bool canPartition(vector<int>& nums) { int sum = 0; for (int num : nums) sum += num; if (sum % 2 != 0) return false; // 总为奇数无法分割 int target = sum / 2, n = nums.size(); vector<bool> dp(target + 1, false); dp[0] = true; // 初始条件:空集为0 for (int num : nums) { for (int j = target; j >= num; j--) { // 逆向遍历避免重复 dp[j] = dp[j] || dp[j - num]; } } return dp[target]; } ``` ### 关键点解析 1. **空间压缩**:通过逆向遍历将二维DP压缩为一维,空间复杂度从$O(n \cdot target)$降为$O(target)$ 2. **剪枝优化**:当遇到$dp[target] = true$时可提前终止循环 3. **边界处理**:输入数组为空或总为0的特殊情况需单独处理[^1] ### 测试案例验证 输入$[1,5,11,5]$时,总为22,目标值为11。算法会依次处理元素: - 处理1后能组成{0,1} - 处理5后能组成{0,1,5,6} - 处理11后能组成{0,1,5,6,11} → 命中目标值
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