【归档】设Ue是R上的偶函数集合，Uo是R的奇函数集合，证明R^R = Ue与Uo的直和

Note: 旧的wordpress博客弃用，于是将以前的笔记搬运回来。

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Foreword:
We use the operator “$\oplus$” to express “direct sum”.
Question:
函数$f:R\to R$称为偶函数，如果对所有$x\in R$均有$f(-x)=f(x)$。函数$f:R\to R$称为奇函数，如果对所有$x\in R$均有$f(-x)=-f(x)$。用$U_e$表示$R$上的实值偶函数的集合，用$U_o$表示$R$上实值奇函数的集合，证明$R^R=u_e\oplus U_o$.
Solution:
Let
Ue={f:R→RU_e = \{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}Ue​={f:R→R : such that f is even$\}$,
Uo={f:R→RU_o = \{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}Uo​={f:R→R : such that f is odd$\}$.
For each function $f(x)\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$, we can divide it into:
$f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$,
$f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$.
Clearly $f(x)=f_o(x)+f_e(x)$.
Therefor ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}=U_e+U_o$.
Since $U_e\cap U_o=f_0(x)=0$, ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}=U_e\oplus U_o$.