本文详细证明了奇数的2的t次幂被2的(t+1)次幂取余得到1的数学原理，并进一步解释了为什么该结果也能被2的(t+2)次幂取余得到1。通过二项式定理展开，清晰地展示了证明过程。
Note: 旧的wordpress博客弃用，于是将以前的笔记搬运回来。
关于奇数的
2
t
2^t
2t幂被
2
(
t
+
1
)
2^{(t + 1)}
2(t+1)取余得1的证明
证明：
奇数可以表示为(2k + 1)的形式，因此对于
(
2
k
+
1
)
2
t
(2k + 1)^{2^t}
(2k+1)2t，我们根据二项式定理有：
(
2
k
+
1
)
2
t
=
(
2
t
2
t
)
2
2
t
k
2
t
+
(
2
t
−
1
2
t
)
2
2
t
−
1
k
2
t
−
1
+
.
.
.
+
(
1
2
t
)
2
k
+
1
=
2
2
t
k
2
t
+
2
t
⋅
2
2
t
−
1
⋅
k
2
t
−
1
+
.
.
.
+
2
t
⋅
2
k
+
1
=
2
t
+
1
k
(
2
t
−
1
k
2
t
−
1
+
2
t
−
2
k
2
t
−
2
+
.
.
.
+
1
)
+
1
\begin{aligned} & (2k + 1)^{2^t} \\ = & (^{2^t}_{2^t})2^{2t}k^{2t} + (^{2^t}_{2^{t - 1}})2^{2t - 1}k^{2t - 1} + ... + (^{2^t}_1)2k + 1 \\ = & 2^{2t}k^{2t} + 2^t \cdot 2^{2t - 1} \cdot k^{2t - 1} + ... + 2^t \cdot 2k + 1 \\ = & 2^{t + 1}k(2^{t - 1}k^{2t - 1} + 2^{t - 2}k^{2t - 2} + ... + 1) + 1 \end{aligned}
===(2k+1)2t(2t2t)22tk2t+(2t−12t)22t−1k2t−1+...+(12t)2k+122tk2t+2t⋅22t−1⋅k2t−1+...+2t⋅2k+12t+1k(2t−1k2t−1+2t−2k2t−2+...+1)+1.
由于结果除去括号最外层值为1的项，其具有因数
2
t
+
1
2^{t + 1}
2t+1，即证明了它能被
2
t
+
1
2^{t + 1}
2t+1整除，考虑回来那个值为1的项后，得到结论，奇数的
2
t
2^t
2t次幂被
2
t
+
1
2^{t + 1}
2t+1取余得到1.
证毕。
注：补充，虽然上面已经证明了命题，但是需要补充的一点是，它被
2
(
t
+
2
)
取
余
得
1
，
原
因
是
，
2^(t + 2)取余得1，原因是，
2(t+2)取余得1，原因是，k$与
2
t
−
1
k
2
t
−
1
+
2
t
−
2
k
2
t
−
2
+
.
.
.
+
1
2^{t - 1}k^{2t - 1} + 2^{t - 2}k^{2t - 2} + ... + 1
2t−1k2t−1+2t−2k2t−2+...+1,
二者之间必然有一个是偶数，所以它能够被2整除，于是奇数的
2
t
2^t
2t次幂能被
2
t
+
2
2^{t + 2}
2t+2取余得到1。
相关问题：
关于奇数的平方对8取余（取模）得1的证明
关于奇数的四次方对16取余（取模）得1的证明
关于对a^b % 2^n = b^a % 2^n，当a为奇数时，在范围[1, 2^n]有且仅有一个b使等式成立的证明
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