回归——一元线性回归

最新推荐文章于 2025-03-23 20:04:56 发布

十@八九

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分类专栏：算法文章标签：机器学习算法人工智能

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一元线性回归

基本概念
推导
代码实现
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基本概念

分类与回归

什么叫做回归？回归是相对分类而言的，与我们想要预测的目标变量y的值类型有关。《统计学习》一书中指出，人们常根据输入输出变量的不同类型，对预测任务给予不同的名称：输入变量与输出变量均为连续变量的预测问题称为回归问题；输出变量为有限个离散变量的预测问题称为分类问题。
什么叫做线性回归？线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。
一元线性回归与多元线性回归的定义：只有一个自变量的情况称为单变量回归，多于一个自变量情况的叫做多元回归。

多元回归的通用形式： ${w_1}{x_1} + {w_2}{x_2} + ... + {w_d}{x_d} + b = f(x)$
多元回归的向量形式： ${\omega ^{\rm T}}x + b = f(x)$ ，其中 $\omega = ({\omega _1};{\omega _2}; \cdots ;{\omega _d};)$

关于分类和回归的举例：y是分类型变量，如预测用户的性别（男、女），预测月季花的颜色（红、白、黄……），预测是否患有肺癌（是、否），那我们就需要用分类算法去拟合训练数据并做出预测；y是连续型变量，如预测用户的收入（4千，2万，10万……），预测员工的通勤距离（500m，1km，2万里……），预测患肺癌的概率（1%，50%，99%……），我们则需要用回归模型。
有时分类问题也可以转化为回归问题，例如刚刚举例的肺癌预测，我们可以用回归模型先预测出患肺癌的概率，然后再给定一个阈值，例如50%，概率值在50%以下的人划为没有肺癌，50%以上则认为患有肺癌。这种分类型问题的回归算法预测，最常用的就是逻辑回归，后面会总结到。

线性回归当中主要有两种模型，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征或两个特征举例子。

图1 单变量线性关系

图2 多变量线性关系

图3 非线性关系

一元线性回归

${h_\theta }(x) = {\theta _0} + {\theta _1}x$
这个方程对应的图像是一条直线，称作回归线。其中， ${\theta _1}$ 为回归线的斜率， ${\theta _0}$ 为回归线的截距。此时，
${\theta _1}$ > 0时，一元线性回归正相关；
${\theta _1}$ < 0时，一元线性回归负相关；
${\theta _1}$ = 0时，一元线性回归不相关；

代价函数

最小二乘法
真实值y，预测值 ${h_\theta }(x)$ ，误差平方为 ${h_\theta }(x))^2}$
找到合适的参数，使得误差平方和： $J({\theta _0},{\theta _1}) = \frac{1}{{2m}}\sum\nolimits_{i = 1}^m {{{({y^i} - {h_\theta }({x^i}))}^2}}$ 最小

梯度下降法

简单得说，就是存在一个函数 $J({\theta _0},{\theta _1})$ ，想取到 $\mathop {\min }\limits_{{\theta _0},{\theta _1}} J({\theta _0},{\theta _1})$ ，那么，我们该如何做呢？

初始化 $({\theta _0},{\theta _1})$
不断改变 $({\theta _0},{\theta _1})$ ，直到 $J({\theta _0},{\theta _1})$ 到达一个全局最小值，或局部极小值。即， ${\theta _j}: = {\theta _j} - \alpha \frac{\partial }{{\partial {\theta _j}}}({\theta _0},{\theta _1})$ for(j=0 and j=1)
注：学习率不能太小，也太能太大。

正确做法：同步更新

${\theta _0} - \alpha \frac{\partial }{{\partial {\theta _0}}}J({\theta _0},{\theta _1})$
${\theta _1} - \alpha \frac{\partial }{{\partial {\theta _1}}}J({\theta _0},{\theta _1})$
${\theta _0}: = temp0$
${\theta _1}: = temp1$
不正确做法：
${\theta _0} - \alpha \frac{\partial }{{\partial {\theta _0}}}J({\theta _0},{\theta _1})$
${\theta _0}: = temp0$
${\theta _1} - \alpha \frac{\partial }{{\partial {\theta _1}}}J({\theta _0},{\theta _1})$
${\theta _1}: = temp1$

推导

用梯度下降法求解线性回归
线性回归的模型和代价函数：

${h_\theta }(x) = {\theta _0} + {\theta _1}x$
$J({\theta _0},{\theta _1}) = \frac{1}{{2m}}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}$

$\frac{\partial }{{\partial {\theta _j}}}J({\theta _0},{\theta _1}) =$
$0:\frac{\partial }{{\partial \theta 0}}J({\theta _0},{\theta _1}) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}}) }$

$1:\frac{\partial }{{\partial \theta 1}}J({\theta _0},{\theta _1}) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}}) \cdot {x^{(i)}}}$

repeat until convergence{
${\theta _0}: = {\theta _0} - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}$
${\theta _1}: = {\theta _1} - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})} \cdot {x^{(i)}}$
}

代码实现

梯度下降法Python代码实现

从0开始

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from pylab import mpl
# 设置显示中文字体
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
# 设置正常显示符号
mpl.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

# 载入数据
data = np.genfromtxt("data.csv", delimiter=",")
x_data = data[:, 0]
y_data = data[:, 1]
plt.scatter(x_data, y_data)
plt.savefig('./imgs/数据分布图.jpg')
plt.show()

# 学习率learning rate
lr = 0.0001
# 截距
b = 0
# 斜率
k = 0
# 最大迭代次数
epochs = 50


# 最小二乘法
def compute_error(b, k, x_data, y_data):
    totalError = 0
    for i in range(0, len(x_data)):
        totalError += (y_data[i] - (k * x_data[i] + b)) ** 2
    return totalError / float(len(x_data)) / 2.0


def gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs):
    # 计算总数据量
    m = float(len(x_data))
    # 循环epochs次
    for i in range(epochs):
        b_grad = 0
        k_grad = 0
        # 计算梯度的总和再求平均
        for j in range(0, len(x_data)):
            b_grad += (1 / m) * (((k * x_data[j]) + b) - y_data[j])
            k_grad += (1 / m) * x_data[j] * (((k * x_data[j]) + b) - y_data[j])
        # 更新b和k
        b = b - (lr * b_grad)
        k = k - (lr * k_grad)
        # 每迭代5次，输出一次图像
        if i % 5 == 0:
            print("epochs:", i)
            plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
            plt.plot(x_data, k * x_data + b, 'r')
            plt.xlabel("x")
            plt.ylabel("y")
            plt.title('迭代%s次的线性回归'%(i))
            plt.savefig('./imgs/迭代%s次的线性回归.jpg' %(i))
            plt.show()
    return b, k


print("Starting b = {0}, k = {1}, error = {2}".format(b, k, compute_error(b, k, x_data, y_data)))
print("Running...")
b, k = gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs)
print("After {0} iterations b = {1}, k = {2}, error = {3}".format(epochs, b, k, compute_error(b, k, x_data, y_data)))

# 画图
plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title('迭代50次的线性回归')
plt.savefig('./imgs/迭代50次的线性回归.jpg')
plt.show()

请添加图片描述

图1 迭代0次	图2 迭代5次
图3 迭代15次	图4 迭代50次

参考bilibili: https://www.bilibili.com/video/BV1Rt411q7WJ?p=7

借助python库

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from pylab import mpl

# 设置显示中文字体
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]

# 载入数据
data = np.genfromtxt("data.csv", delimiter=",")
x_data = data[:, 0]
y_data = data[:, 1]
plt.scatter(x_data, y_data)
plt.show()
print(x_data.shape)

x_data = data[:, 0, np.newaxis]
y_data = data[:, 1, np.newaxis]
# 创建并拟合模型
model = LinearRegression()
model.fit(x_data, y_data)

# 画图
plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
plt.plot(x_data, model.predict(x_data), 'r')
plt.xlabel("x_data")
plt.ylabel("y_data")
plt.title('sklearn——一元线性回归')
plt.savefig('./imgs/sklearn——一元线性回归.jpg')
plt.show()

# 系数(可理解为斜率)
print('系数：', model.coef_)
# 截距
print('截距：', model.intercept_)
# 决定系数 R2→1模型的数据拟合性就越好，反之，R2→0，表明模型的数据拟合度越差。
print('决定系数：', model.score(x_data, y_data))