第 3 讲 三维空间刚体运动

我的沉寂 终将轰动

第 3 讲 三维空间刚体运动

3.1 旋转矩阵

3.1.1 点、向量和坐标系

位置=坐标，姿态=向量

三维空间中的某个点的坐标也可以用 ${\mathbb{R}}^3$ 来描述。假设在这个线性空间中，找到了该空间的一组基 $\left(e_1,e_2,e_3\right)$，那么，任意向量 $a$ 在这组基下就有一个坐标：$$a=\left[e_1,e_2,e_3\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]=a_1{e}_1+a_2{e}_2+a_3{e}_3$$这里的 ${\left(a_1,a_2,a_3\right)}^T$ 称为 $a$ 在此基下的坐标。
通常意义下的内积可以写成$$a\cdot b=a^{T}b=\sum _{i=1}^3{a}_i{b}_i=|a||b|cos⟨a,b⟩.$$其中 $⟨a,b⟩$ 指向量 $a,b$ 的夹角。
外积可以写成这个样子：$$a\times b=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]b=a^{\wedge }b.$$外积的结果是一个向量，它的方向垂直于这个向量，大小为 $|a||b|sin⟨a,b⟩$，是两个向量张成的四边形的有向面积。这里使用 ${}^{\wedge }$ 符号，将 $a$ 写成一个矩阵，这个矩阵事实上是一个反对称矩阵。这样子外积 $a\times b$ 就可以表示为矩阵和向量的乘法 $a^{\wedge }b$ ，把它变成了线性运算。此处的矩阵和反对称矩阵是一一对应的。

3.1.2 坐标系间的欧式变换

如果考虑到运动的机器人，常见的做法是设定一个惯性坐标系（或者叫世界坐标系，worldmap）。那么，相机视野中的某个向量 $p$ ，它在相机坐标系下的坐标为 $p_c$ ，而从世界坐标系下看，它的坐标为 $p_w$ ，那么，这两个坐标之间是如何转换的呢？我们可以使用一个矩阵 $T$ 来描述机器人位姿和世界坐标系之间的变换关系。

两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成，这种运动称为刚体运动。在刚体运动过程中，同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。可以说相机坐标系和世界坐标系之间差了一个欧式变换（Euclidean Transform）

欧式变换由旋转和平移组成。由于一个向量在欧式变换中自身并没有发生变换，故可以得到在两个坐标系下不同的坐标，有：$$\left[e_1,e_2,e_3\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]=\left[e_1^{\prime },e_2^{\prime },e_3^{\prime }\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right].$$对上述等式的左右两边同时左乘 [ e 1 T e 2 T e 3 T ] \begin{bmatrix}e_1^T \\e_2^T\\e_3^T \end{bmatrix} ⎣⎡​e1T​e2T​e3T​​