洛谷 P2473 [SCOI2008]奖励关 （概率dp&&状压）

题目背景

08四川NOI省选

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种

宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各

宝物编号为1到n），以0结尾。

 

输出格式：

 

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 2
1 0
2 0

输出样例#1： 复制

1.500000

输入样例#2： 复制

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

输出样例#2： 复制

10.023470

说明

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-106,106]内的整数。

题意不解释了，看到范围，15，而且对于第i个宝物，还有需要选的前置状态，那我们现在就可以1<<15来记录当前选了哪些的状态，f[i][j]，代表前i - 1个物品我们当前选了j状态的物品的最大得期望得分，输入的前置还是用普遍的状压存一下，我们对期望还是倒着dp，类比以前的题，接着考虑转移，k是我们枚举的第k个物品，j是我们枚举的状态j，如果j & p[k] == p[k]，则说明p[k]是j的子集，那么j就满足选第k个的前置条件了，所以转移就有  f[i][j] += max(f[i + 1][j],f[i + 1][j | (1 << (k - 1))] + val[k])，如果不满足 f[i][j] += f[i + 1][j]，最后根据期望的定义，再除以概率，我们的结果就是f[1][0]

double f[105][40000];///表示到了第i轮，宝物是否取过的状态为S的最大期望得分。
int p[maxn];
double val[maxn];
int main()
{
    int m;
    while(cin >> n >> m){
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            cin >> val[i];
            while(1){
                    int x;
                cin >> x;
                if(x == 0) break;
                p[i] |= (1 << (x - 1));
            }
        }
        for(int i = n;i >= 1;i--){
            for(int j = 0;j < (1 << m);j++){
                for(int k = 1;k <= m;k++){
                    if((j & p[k]) == p[k]){
                        double Max = max(f[i + 1][j],f[i + 1][j | (1 << (k - 1))] + val[k]);
                        f[i][j] += Max;
                    }else f[i][j] += f[i + 1][j];
                }
                 f[i][j] /= m;
            }
        }
        wt(f[1][0],6);
    }
    return 0;
}