游戏奖励关期望得分算法-优快云博客

描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出 k 次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有 n 种，系统每次抛出这 n 种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前 k-1 次系统都抛出宝物 1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第 k 次抛出各个宝物的概率依然均为 1/n。

获取第 i 种宝物将得到 Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第 i种宝物有一个前提宝物集合 Si。只有当 Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入

第一行为两个正整数 k 和 n，即宝物的数量和种类。以下 n 行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为 1 到 n），以 0 结尾。

输出

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

样例输入

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

样例输出

10.023470

提示

【数据规模】

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-10^6,106]内的整数。

解析

期望DP，用记忆化搜索实现。看到15这种小数据，就应该立刻想到状态压缩。
用f ff数组记录期望。现在已选的宝藏状态为now nownow，现在要选第t tt个宝藏，那么f[now][t] f[now][t]f[now][t]表示这时的期望。

为了避免一些非法的情况，考虑倒推。对于记忆化搜索来说，就是一个回溯的过程。
如果当前状态为now nownow，现在决定第t tt个宝藏，枚举到一个宝藏i ii，而当前now nownow又满足可以取到i ii，那么就在取和不取之间求max maxmax，对应代码就是：
f[now][t]+=max((dp(now∣2i−1,t+1)+val[i])/n,dp(now,t+1)/n); f[now][t]+=max((dp(now|2^{i-1},t+1)+val[i])/n,dp(now,t+1)/n);
f[now][t]+=max((dp(now∣2
i−1
,t+1)+val[i])/n,dp(now,t+1)/n);

再解释一下——
取的话，就是（走这一步的情况的期望（递归求解）+ ++当前宝藏的贡献)× \times×（走到当前情况的概率）
不取的话，就是（走这一步的情况的期望（递归求解）)× \times×（走到当前情况的概率）
由于期望的线性性，加起来就好了。

注意一下，虽然n<=15 n<=15n<=15，但是k<=100 k<=100k<=100，f ff数组要开够。。。

作者：seino_nana
来源：优快云
原文：https://blog.youkuaiyun.com/g21wcr/article/details/87892597

CODE

#include<bits/stdc++.h>//本代码由dhy大佬特别赞助
using namespace std;
const int N=105;
const int STATE=(1<<16)+100;
const double INF=(int)0x3f3f3f3f;
double dp[N][STATE];//dp[i][j]表示选i个宝箱，状态为j是的最优解得分 
vector<int> R[20];
int w[N],n,k;
int read(){
	int s=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') f=-f;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';
		ch=getchar(); 
	}
	return s*f;
}
double dfs(int x,int si){//选x个，状态为si
	if(x>k) return 0.0;
	if(int(dp[x][si])>-INF+1) return dp[x][si];//若以操作过，直接返回值 
	dp[x][si]=0.0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		bool flag=1;//falg表示当前状态si是否满足选第i的要求 
		for(int j=0;j<R[i].size();j++)
		if((si&(1<<R[i][j]-1))==0){
			flag=0;break;
		}
		if(flag)//若满足，当前的最优解得分要加上选x+1个宝箱中，选与不选第i种之中的更优解得分 
			dp[x][si]+=max(dfs(x+1,si),dfs(x+1,si|(1<<i-1))+w[i]);
		else//若不满足，最优解得分就是选x+1种的最优解得分 
			dp[x][si]+=dfs(x+1,si);
	}
	dp[x][si]/=double(n);//每一次选一个合法宝箱，概率都为1/n 
	return dp[x][si];
}
int main(){
	k=read(),n=read();//k为数量，n为种类 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		w[i]=read();
		int x=read();
		while(x){
			R[i].push_back(x);
			x=read();
		}
	}
	for(int i=0;i<N;i++)
		for(int j=0;j<STATE;j++) dp[i][j]=-INF;
	printf("%.6f",dfs(1,0)); 
	return 0;
}