POJ【数学】1150 The Last Non-zero Digit

POJ 1150 The Last Non-zero Digit

(这题怎么跑到组合数学里面来了？？？)

题目大意

◆题目传送门◇

求$\frac{N!}{(N-M)!}$的最后一位非零数字。

分析

我们可以将所有的因数$10$去掉，问题就转换为了求这个数的最后一位。

但直接去掉因数$10$有点麻烦，我们稍退一步，可以先去掉$2^a\times 5^b$。

这个问题等价于当$n!=a{p}^e$（$a$无法被$p$整除）时，求解$e$。

一个显然的结论是$e=n/p+n/p^2+n/p^3+\dots$。（具体可参考《挑战程序设计竞赛（第二版）》293-294页）

我们进一步可以发现，当$b>a$时，答案一定是$5$。

接下来讨论$b\le a$的情况：

我们现在只需要知道$3,7,9$的个数就可以获得答案。因为$3,7,9$的末尾都是以$4$为周期出现。

为了求解方便，我们直接讨论$n!$。

我们将$1,2,3,\dots ,N$分为两个序列：$2,4,6\dots$和$1,3,5,\dots$，即偶数序列和奇数序列。

对于偶数序列，我们只需将它除$2$即可递归转化为奇数序列。对于奇数序列，我们可以发现，每$10$个数字中就有$3,7,9$各一，但又因为其中有$5$的倍数，所以继续除$5$递归。

至此我们得到了所有的因数$2,5,3,7,9$的个数。其中$2,5$可以对消为$2^{a-b}$，我们就可以利用这些数的$N$次方尾数是$4$个一循环即可。

参考代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int T[][4]={
	{6,2,4,8},//2^4,2^1,2^2,2^3
	{1,3,9,7},//3^4,3^1,3^2,3^3
	{1,7,9,3},//7^4,7^1,7^2,7^3
	{1,9,1,9},//9^4,9^1,9^2,9^3
};

int N,M;

int Calc(int num,int t) {
	return num==0?0:(num/t+Calc(num/t,t));
}

int g(int num,int t) {
	return (num==0)?0:(num/10+(num%10>=t)+g(num/5,t));
}
int cal(int num,int t) {
	return num==0?0:(cal(num/2,t)+g(num,t));
}

int main() {
	#ifdef LOACL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	while(scanf("%d %d",&N,&M)!=EOF) {
		int num2=Calc(N,2)-Calc(N-M,2);
		int num5=Calc(N,5)-Calc(N-M,5);
		if(num5>num2) {
			puts("5");
			continue;
		} else {
			int ans=1;
			int num3=cal(N,3)-cal(N-M,3);
			int num7=cal(N,7)-cal(N-M,7);
			int num9=cal(N,9)-cal(N-M,9);
			if(num2>num5)
				ans*=T[0][(num2-num5)%4],ans%=10;
			ans*=T[1][num3%4],ans%=10;
			ans*=T[2][num7%4],ans%=10;
			ans*=T[3][num9%4],ans%=10;
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}