poj 1150 The Last Non-zero Digit

The Last Non-zero Digit

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Description

In this problem you will be given two decimal integer number N, M. You will have to find the last non-zero digit of the ^NP _M.This means no of permutations of N things taking M at a time.

Input

The input contains several lines of input. Each line of the input file contains two integers N (0 <= N<= 20000000), M (0 <= M <= N).

Output

For each line of the input you should output a single digit, which is the last non-zero digit of ^NP _M. For example, if ^NP _M is 720 then the last non-zero digit is 2. So in this case your output should be 2.

Sample Input

10 10
10 5
25 6

Sample Output

8
4
2

Source

uva 10212

感谢这位作者：http://blog.youkuaiyun.com/xiaofengsheng/archive/2009/11/19/4834628.aspx

题目就是说球阶乘右边非0位

 

/*如何求出n!阶乘最后非0位？ 比如说我们要找10!最后非0位，由于质因数2和5组合之后会使得末尾产生0.那么我们不妨把10！中2，5质因数全部去掉，（但是请注意2的数目其实比5的要多，所以我们要在最后考虑多余的2对末位的影响） 如 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 去掉2 ，5 因子后 就是1*1*3*1*1*3*7*1*9*1，由于2，5因子已经被去除，那么剩下的数字末尾一定是3，7，9，1中四者之一。然后我们再求出这么一串数相乘以后末尾的数是几.最后再补上2对末位的影响即可！ 总结一下，求10!最后一个非0位的步骤如下： step1：首先将10!中所有2，5因子去掉； step2：然后求出剩下的一串数字相乘后末尾的那个数。 step3：由于去掉的2比5多，最后还要考虑多余的那部分2对结果的影响。 step4：output your answer! 正如上面文章里所说的“To compute the number of 3,7,9 among (f(1) mod 10), (f(2) mod 10), ..., (f(N) mod 10) is not so easy”，这里面步骤2是个难点。如何求出剩下的这串数字相乘后最后一位是几呢？这可以转化成求出这些数里面末尾是3，7，9的数字出现的次数（为啥？因为这些数的n次方是有规律的，周期为4，不信你可以推一下） 好，现在问题就是如何求出这串数字中末尾3，7，9各自出现的次数了； 一个数列实际上可以分成偶数列和奇数列，以1*2*3*4*5*6*7*8*9*10为例 分成1 3 5 7 9, 2 4 6 8 10 这样我们尝试分别进行统计，可以发现，实际上2，4，6，8，10中的个数也就是1 2 3 4 5中的个数，也就是说我们又把这个问题划分成了一个原来问题的子问题。 f(n) = f(n/2) + g(n),g(n)表示奇数列中的数目，所以我们需要解决g(n) 再次观察g(n) 实际上又分成了两部分1 3 7 9 11 13 17 19 21。。。以及5的奇倍数5，15，25。。。说明又出现了子问题,如果要统计这个数列中末尾为x（1，3，7，9）的个数可以这样写：g(n,x) = n/10+(n%10 >= x)+g(n/5,x) 这样利用了两个递归方程，我们就可以在lgn的时间内计算出末尾为1,3,7,9的数的个数了 好了，现在我们得到了这串数字中末尾是3，7，9的数字的个数，我们利用循环节的性质可以快速地算出这串数字相乘后mod 10的结果，在考虑下当时多除的2(其实也可以用循环节来处理），便可求出答案！ 解决了上面两个子问题，我想求P(n,m)最后一个非0位就变得十分容易了。 P(n,m)实际上等于 n! / (n-m)! 我们可以求出n! 和(n-m)!中质因数2，5，3，7，9分别出现的次数，然后再各自相减。 然后再用循环节处理，即可！ BTW，这里还要注意一个trick,就是2的出现次数如果小于5，（这对于排列数来说是可能的）我们可以直接输出5，如果2的数目等于5，那么2的循环节不需要考虑。至于3，7，9的循环节，由于这些数的4次方末位刚好是1，所以就不需要特殊考虑了。 */ #include<cstdio> int getx(int n,int x) { if(n==0) return 0; return n/x+getx(n/x,x); } int g(int n,int x) { if(n==0) return 0; return n/10+(n%10>=x)+g(n/5,x); } int get(int n,int x) { if(n==0) return 0; return get(n/2,x)+g(n,x); } int table[4][4] = { 6,2,4,8,//2 ^n%10的循环节，注意如果2的个数为0时候，结果应该是1，要特殊处理。 1,3,9,7,//3 1,7,9,3,//7 1,9,1,9,//9 };//3，7，9的循环节中第一位，刚好是1，故不需要考虑这些数字出现次数为0的情况。 int main() { int n,m; int num2,num3,num5,num7,num9; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)//n!/(n-m)!的右边第一个非0位 { num2=getx(n,2)-getx(n-m,2); num3=get(n,3)-get(n-m,3); num5=getx(n,5)-getx(n-m,5); num7=get(n,7)-get(n-m,7); num9=get(n,9)-get(n-m,9); int res=1; if(num5>num2) { printf("5/n"); continue; } else { if(num2!=num5) { res*=table[0][(num2-num5)%4]; res=res%10; } res*=table[1][num3%4]; res%=10; res*=table[2][num7%4]; res%=10; res*=table[3][num9%4]; res%=10; } printf("%d/n",res); } return 0; }