【洛谷】【差分】【LCA】P1600 天天爱跑步

洛谷 P1600 天天爱跑步

题目大意

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分析

考虑如果直接模拟每个人的路径复杂度就会达到$O(NM)$级别，这样做肯定要爆炸。

于是换个方向思考：我们以观察员的视角来解决这道题。即我们统计每个人对于每个观察员的贡献。

对于第$i$个人的行动，我们可以分成两部分来看：

记$u$是$s,t$的最近公共祖先，$d(u)$为节点$u$的深度。

当当前人是从$s$走到$u$的时候：

则我们通过画图可以知道：

对于该路径上任何一个节点$v$,当$d(s)=W_v+d(v)$时，这个人会对$v$点上的观察员做出贡献。即人从$s$出发，在$W_v$秒时被$v$节点上的观察员看到。

当人从$u$走向$t$的时候：通过画图可以知道：

对于该路径上的任何一个节点$v$，若有$d(s)-2d(u)=W_v-d_v$，则这个人会对节点$v$上的观察员做出贡献。

相当于在$s$处出现了数$d(s)$，在$u$的父亲节点处消失；在$u$处出现了数$d(s)-2d(u)$，在$t$处消失。

则问题转化为在以$u$为根的子树中，统计有多少个第一类数等于$W_u+d(u)$和第二类数等于$W_v-d(v)$。

于是做树上差分：开两个统计两类数的出现和消失的位置的vector和计数数组，一遍$DFS$即可，总时间复杂度为$O(M\log N+N)$。

似乎我写的常数有点大。。。

参考代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Maxn = 3e5;
const int Maxlog = 19;

int N, M;
int W[Maxn + 5];

vector<int> G[Maxn + 5];
void addedge(int u, int v) {
	G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
}

int dep[Maxn + 5];
int fa[Maxn + 3][Maxlog + 2];
void PreDFS(int u, int pre) {
	dep[u] = dep[pre] + 1, fa[u][0] = pre;
	for(int i = 1; i <= Maxlog; i++)
		fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i];
		if(v == pre) continue;
		PreDFS(v, u);
	}
}
inline int LCA(int u, int v) {
	if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
	for(int i = Maxlog; i >= 0; i--)
		if(dep[fa[u][i]] >= dep[v]) u = fa[u][i];
	if(u == v) return u;
	for(int i = Maxlog; i >= 0; i--)
		if(fa[u][i] != fa[v][i])
			u = fa[u][i], v = fa[v][i];
	return fa[u][0];
}

int sum1[Maxn + 5], sum2[Maxn * 2 + 5];
int ans[Maxn + 5];

vector<int> a1[Maxn + 5], a2[Maxn + 5], b1[Maxn + 5], b2[Maxn + 5];
void DFS(int u, int pre) {
	ans[u] -= (sum1[dep[u] + W[u]] + sum2[W[u] - dep[u] + N]);
	//先减掉属于这棵子树的但答案不对的部分
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i];
		if(v == pre) continue;
		DFS(v, u);
	}
	for(int i = 0; i < (int)a1[u].size(); i++)
		sum1[a1[u][i]]++;
	for(int i = 0; i < (int)a2[u].size(); i++)
		sum1[a2[u][i]]--;
	for(int i = 0; i < (int)b1[u].size(); i++)
		sum2[b1[u][i] + N]++;
	for(int i = 0; i < (int)b2[u].size(); i++)
		sum2[b2[u][i] + N]--;
	ans[u] += sum1[dep[u] + W[u]] + sum2[W[u] - dep[u] + N];
	//将这棵子树差分后的正确答案加回去
}

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d %d", &N, &M);
	for(int i = 1; i < N; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		addedge(u, v);
	}
	PreDFS(1, 0);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%d", &W[i]);
	for(int i = 1; i <= M; i++) {
		int s, t;
		scanf("%d %d", &s, &t);
		int lca = LCA(s, t);
		int tmp = dep[s] - 2 * dep[lca];
		a1[s].push_back(dep[s]), a2[fa[lca][0]].push_back(dep[s]);
		b1[t].push_back(tmp), b2[lca].push_back(tmp);
	}
	DFS(1, 0);
	for(int i = 1; i < N; i++)
		printf("%d ", ans[i]);
	printf("%d\n", ans[N]);
	return 0;
}