poj2480 欧拉函数

题意：给出n（2^31），求∑gcd(i, n) 1<=i <=n。

分析：首先所有与n互质的数字x都满足gcd(x,n)=1。我们先计算这种等于1的情况，恰好是n的欧拉函数phi(n)。我们可以将上述情况视为跟n最大公约数为1的情况，现在我们将其推广至最大公约数为p的情况。对于对于所有满足gcd(x,n)=p（p为常数）的x，他们与n拥有相同的gcd，那么他们同时除以p之后，就会变得和n/p互质，这种数字x有phi(n/p)个，这些x的和为p*phi(n/p)个。所以我们要计算∑gcd(i, n) 1<=i <=n，只需要根据gcd的值不同，分类进行计算即可，总结成公式：∑p*phi(n/p)（p是n的约数）

设f(n)=Σ(gcd(i,n))，由定理：积性函数的和函数也是积性函数(具体数学上有)。
所以f(x)=f(p1^a1*p2^a1*…pn^an)=f(p1^a1)*f(p2*a2)…*f(pn^an)。
只要对每个f(pi^ai)求解就可以了，f(pi^ai)=1*phi(pi^ai)+pi^a1*phi(pi^(ai-1))+…+pi^ai*phi(1)。
由phi(pi^ai) = pi^ai - pi^(ai-1)，那么可以化简上面的式子：f(pi^ai) = ai * pi^ai - ai * pi^(ai-1) + pi^ai = pi^ai * (ai - ai/pi + 1)；

对于这个公式我们有一个快速计算的方法，我们先想，若要计算∑p，我们可以用公式(x1^0+x1^1+…+x1^c1)(x2^0+x2^1+…+x2^c2)…(xm^0+xm^1+…+xm^cm)。xi是n的质因数，ci是n中含有xi的个数。同理，根据欧拉函数的公式，每个欧拉函数值也和各个质因子有关，求∑phi(n/p)=∑phi(p)=(1 + x1^0 (x1 - 1) + x1^1 * (x1- 1) + …+x1^(c1-1) * (x1- 1))…(…)。然后由于二者都是质因子幂相乘的形式，所以可以把两者综合起来，对于每个括号里的每一项，都是约数因式和欧拉函数因式的乘积的形式，即p的因式要乘以phi(n/p)的因式，两因式的质因子指数是互补的，最终公式变为(x1^(c1-1)(c1-1) + x1^c1)…。

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using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
//using namespace __gnu_cxx;
//define
#define pii pair<int,int>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define PI acos(-1.0)
//typedef
typedef __int64 LL;
typedef unsigned __int64 ULL;
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const int N=110;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=100000,STA=8000010;
const LL LNF=1LL<<60;
const double EPS=1e-8;
const double OO=1e15;
const int dx[4]={-1,0,1,0};
const int dy[4]={0,1,0,-1};
const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
//Daily Use ...
inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}
template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
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template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
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//End

LL ans,n;

int main(){
 //   freopen("in.txt","r",stdin);
    LL i,j;
    LL cnt,t;
    while(~scanf("%I64d",&n)){
        ans=n;t=1;
        for(i=2;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                cnt=0 ;
                while(n%i==0){
                    cnt++;
                    n/=i;
                }
                ans+=ans*cnt/i*(i-1);
            }
        }
        if(n>1)ans=ans*(n*2-1)/n;

        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}