poj2480

题目链接：http://poj.org/problem?id=2480

题目大意：求一个数n的gcd（i，n）求和（i从1到n）

思路：

设函数g(n) = gcd(i,n) (1<=i<=n)，由积性函数的定义，g(n)=g(m1)*g(m2) (n=m1*m2 且 （m1, m2）= 1)，所以g是积性函数。由具体数学上的结论，积性函数的和也是积性的。所以f(n) = ∑gcd(i, n)也是积性函数。由初等数论中的定理，如果f(n)是不恒为0的数论函数，n>1时 n=p1^a1*p2^a2*...*ps^as，那么f(n)是积性函数的充要条件是f(1)=1，及f(n) = f(p1^a1)*f(p2^a2)*...f(pr^ar)。所以只要求f(pi^ai)就好，如果d是n的一个约数，那么1<=i<=n中gcd(i,n) = d的个数是phi(n/d)，即n/d的欧拉函数
求出来的公式参考这个博客：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41515833/article/details/95961608

先唯一分解，再直接利用这个公式，ac！

ac代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll poww(ll a,ll b) {
    ll ans = 1, base = a;
    while (b != 0) {
        if (b & 1 != 0)
            ans *= base;
            base *= base;
            b >>= 1;
    }
    return ans;
}
struct node{
    ll p;
	ll m;	
}su[105];
int main(){
	ll n;
	while(cin>>n){
	    ll ans=1;
	    ll cnt=0;
	    //唯一分解
		for(ll i=2;i*i<=n;i++){
			if(n==1)
			break;
			if(n%i==0){
				su[cnt].p=i;
				su[cnt].m=0;
				while(n%i==0){
					n/=i;
					su[cnt].m++;
				}
				cnt++;
			}
		}
		if(n!=1){
			su[cnt].p=n;
			su[cnt].m=1;
			cnt++;
		}
		ll t;
		for(int i=0;i<cnt;i++){
			t=su[i].m*(poww(su[i].p,su[i].m)-poww(su[i].p,su[i].m-1))+poww(su[i].p,su[i].m);
		    ans*=t;
		}
		 
		 cout<<ans<<endl;
		 
		 
	}
	return 0;
}