综合除法和余数定理

【代数式的定义】

$x$的代数式常用记号$f(x)$或$g(x)$等表示，如用$f(x)$表示代数式$2x^2+x-3$可记为

$$f(x)=2x^2+x-3$$

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【几个重要定理】

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【余数定理】

多项式$f(x)$除以$(x-a)$所得的余数等于$f(a)$.

如$f(x)=3x²+5x-7$除以$(x+2)$，商式为$3x-1$，余数为$-5$

运用余数定理可不用竖式除法或综合除法直接算出余式即为

$$f(-2)=3*(-2)^2+5*(-2)-7=-5$$

【证明】

记

$$f(x)=g(x)*q(x)+r(x)$$ 其中$f(x)$表示被除式，$g(x)$表示除式，$q(x)$表示商式，$r(x)$表示余式.

因为$g(x)=(x-a)$的次数等于1，那么余式$r(x)$一定为常数，简称为余数，记为$r$，则有

$$f(x)=g(x)*q(x)+r$$

另其中$x=a$可得，

$$f(x)=(x-a)*q(x)+r=r$$ 得证.

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【因式定理】

根据余数定理可得，如果多项式$f(x)$能被$(x-a)$整除，即$f(a)=0$.

反之，如果$f(a)=0$，即$(x-a)$必为$f(x)$的一个因式.