求两个数的最大公约数问题

本程序具有三种计算最大公约数的算法：相减法、辗转相除法以及穷举法。

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫 欧几里德算法。

这就是辗转相除法的原理。

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29），

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0），

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29.

可以写成右边的格式。

用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

更相减损法（即相减法）

更相减损法：也叫 更相减损术，是出自《 九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为 约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言如下：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫 等值算法。

具体代码如下：

/*
文件名：最大公约数 
作者：Key-不会挖洞的猫鼬
版本号：20170322.1.01
完成日期：2017.3.22
主要功能：利用相减法、辗转相除法、穷举法求两个数的最大公约数 
*/ 
#include<stdio.h>
int a = 0,b = 0, c = 0;
int select = 1;
void subtract();     //相减法 
void division();     //辗转相除法 
void exhaustion();   //穷举法 
void menu();         //用户界面 
int main();

void subtract()       //相减法 
{
	printf ("请输入2个整数,用逗号“,”隔开：\n");
	scanf ("%d,%d",&a,&b);
        while ( a != b)     //a，b相等时结束 
         if (a > b)    //始终保持大数减小数 
             {
         	a = a - b;
	      }        
         else
             {  
         	b = b - a;
	      }  
	printf ("最大公约数为：%d \n",a);
	int x;
	printf ("继续请输入1，返回上级请输入其他整数： \n");
	scanf ("%d", &x);
	if (x == 1)
	    {
		return subtract();
	    }
	if (x != 1)
	{
		return menu();
	}
}

void division()   //辗转相除法 
{
	printf ("请输入2个整数,用逗号“,”隔开：\n");
	scanf ("%d,%d",&a,&b);
	if (a < b)       //始终保证较大数为a，较小数为b 
	    {
		c = a;
		a = b;
		b = c;
	    }
	while (b != 0)   //直到余数b为0时结束 
	    {
		c = a;      //先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；
		a = b;      //又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数,直到余数是0为止
		b = c % b; 
	    }
	printf ("最大公约数为：%d \n",a);
	int x;
	printf ("继续请输入1，返回上级请输入其他整数： \n");
	scanf ("%d", &x);
	if (x == 1)
	    {
		return division();
	    }
	if (x != 1)
	    {
		return menu();
	    }
}

void exhaustion()     //穷举法 
{
    printf ("请输入2个整数,用逗号“,”隔开:\n");
    int a = 0,b = 0;
    scanf ("%d,%d", &a, &b);            //输入两个数a、b
    int n = a;
    if (n > b)
	{
		n = b;                        //取两个数中的较小数	
	}
    for (int i = n;i >= 1;i --)      //从较小数开始尝试，直到i能同时被a、b整除 
       {
              if (a % i == 0 && b % i == 0)
                  {
                     printf ("最大公约数：%d \n",i);
                     break;
                  }
       }
        int x;
	printf ("继续请输入1，返回上级请输入其他整数： \n");
	scanf ("%d", &x);
	if (x == 1)
	    {
		return exhaustion();
	    }
	if (x != 1)
	    {
		return menu();
	    } 
}

void menu()     //用户选择界面 
{
	int item;
	printf ("\n");
	printf ("         **********最大公约数********** \n") ;
	printf ("*************************************************\n");
	printf ("    *      1、相减法求最大公约数            *\n");
	printf ("    *      2、辗转相除法求最大公约数        *\n");
	printf ("    *      3、穷举法求最大公约数            *\n");
	printf ("    *      4、退出系统                      *\n");
	printf ("*************************************************\n");
	printf ("\n");
	printf ("请选择您需要的操作序号(1-4)按回车确认:");	
	scanf ("%d", & item);
	printf ("\n");
	switch (item)
	{
	 case 1:
	 	subtract();    //相减法 
	 	break;
	 case 2:
	 	division();    //辗转相除法 
	 	break;
	 case 3:
	 	exhaustion();  //穷举法 
	 	break;
	 case 4:
	 	select = 0;
	 	break;
	 default:
		     printf("请在1-3之间选择\n"); 
    }	         	
}

int main()
{ 
  	while (select)                    //select为0时，退出循环
	    {
		menu();                      //用户界面函数
	    }
	return 0;
}   

运行结果展示：