辗转相除法、相减法求两自然数最大公约数和最小公倍数

l 辗转相除法

算法描述:

辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的一种算法.

有两整数a和b：

 ① a%b得余数c

 ② 若c=0，则b即为两数的最大公约数

 ③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①

 例如求27和15的最大公约数过程为：

  27÷15余1215÷12余312÷3余0因此，3即为最大公约数

数据流程图:

算法的数学证明:

证明辗转相除法的确可以求得最大公约数,只需证明gcd(a,b)=gcd(b,a%b).

证明:定义a=k*b+r ,即k=a/b , r=a%b

假设一个数d为a,b的一个公约数,表示为d|a且d|b,意为a能被d整除同时b也能被b整除.-->所以d|(k*b+r) --> 再加上因为d|b,也就是说d|k*b -->所以d|r ,即d|(a%b) -->所以d也是b和a%b的公约数-->最终得a,b的公约数也就是b,a%b的公约数,故而gcd(a,b)=gcd(b,a%b) .

两个数的最小公倍数等于他们的乘积除以最大公约数.

C#代码实现:

循环:     

Console.WriteLine ("输入两个正整数(输入一个敲下回车): ");
int num1 = int.Parse (Console.ReadLine ());
int num2 = int.Parse (Console.ReadLine ()); 
int temp = num1*num2,r;
do{
    r = num1 % num2;
    num1 = num2;
    num2 = r;
   }while(r>0);
Console.WriteLine ("最大公约数是{0} ",num1);
Console.WriteLine ("最小公倍数是{0} ",temp/num1);

递归:

public static int gcd (int a, int b)
    {
     	return (b==0?a:gcd(b,a%b));
    } 

l 辗转相减法

辗转相减法与辗转相减法相似

算法描述

                有两整数a和b：
                 ① 若a>b，则a=a-b
                 ② 若a<b，则b=b-a
                 ③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数
                 ④ 若a≠b，则再回去执行①
                 例如求27和15的最大公约数过程为：
                27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )
               12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )
                6－3＝3( 3==3 )
                因此，3即为最大公约数

代码实现

int temp = num1*num2;
while(num1!=num2)
  {
   if (num1 > num2)
      num1 -= num2;
   else
      num2 -= num1;
   }
Console.WriteLine ("最大公约数是{0} ",num1);
Console.WriteLine ("最小公倍数是{0} ",temp/num1);