题意:
fk=∑i=1naikf_k=\sum_{i=1}^n a_i^kfk=i=1∑naik
求出f1f_1f1~fnf_nfn
题解:
考虑构造fff的生成函数FFF
设A(x)=∑jaijxjA(x)=\sum_j a_i^jx^jA(x)=∑jaijxj
则F(x)=∑inA(i)F(x)=\sum_i^n A(i)F(x)=∑inA(i)
FFF的系数即是∑i=1naik\sum_{i=1}^n a_i^k∑i=1naik
所以有F(x)=∑i=1n11−aixF(x)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{1-a_ix}F(x)=∑i=1n1−aix1
这样就可以分治fft+多项式求逆O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)
然而常数巨大无法AC
接下来的操作就很奇奇妙妙
=∑i=1n1+aix1−aix=\sum_{i=1}^n 1+\frac{a_ix}{1-a_ix}=i=1∑n1+1−aixaix
=n−x∑i=1n−ai1−aix=n-x\sum_{i=1}^n \frac{-a_i}{1-a_ix}=n−xi=1∑n1−aix−ai
=n−x∑i=1n[ln(1−aix)]′=n-x\sum_{i=1}^n [ln(1-a_ix)]'=n−xi=1∑n[ln(1−aix)]′
=n−x[∑i=1nln(1−aix)]′=n-x \left[ \sum_{i=1}^n ln(1-a_ix) \right]'=n−x[i=1∑nln(1−aix)]′
=n−x{ln[∏i=1n(1−aix)]}′=n-x \left \{ ln \left[ \prod_{i=1}^n (1-a_ix) \right] \right \}'=n−x{ln[i=1∏n(1−aix)]}′
用分治求这个式子就快很多,然后再求lnlnln,求导即可
听说是套路,自闭
code:
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define mem(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define LL long long
using namespace std;
const LL p=998244353,yg=3;
LL bin[1600010],a[1600010],g[1600010],h[1600010],tmp[1600010],b[1600010];
LL Pow(LL a,LL b)
{
LL ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*a%p;
a=a*a%p;b>>=1;
}
return ans;
}
void ntt(LL *a,LL n,LL op)
{
for(LL i=0;i<n;i++) bin[i]=(bin[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
for(LL i=0;i<n;i++) if(i<bin[i]) swap(a[i],a[bin[i]]);
for(LL i=1;i<n;i<<=1)
{
LL wn=Pow(yg,op==1?(p-1)/(i<<1):p-1-(p-1)/(i<<1)),t,w;
for(LL j=0;j<n;j+=i<<1)
{
w=1;
for(LL k=0;k<i;k++)
{
t=a[i+j+k]*w%p;w=wn*w%p;
a[i+j+k]=(a[j+k]-t)%p;a[j+k]=(a[j+k]+t)%p;
}
}
}
if(op==-1)
{
LL Inv=Pow(n,p-2);
for(LL i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*Inv%p;
}
}
void pol_inv(LL n,LL *a,LL *g)
{
if(n==1) {g[0]=Pow(a[0],p-2);return;}
pol_inv((n+1)>>1,a,g);
LL N=1;while(N<n<<1) N<<=1;
copy(a,a+n,tmp);fill(tmp+n,tmp+N,0);
ntt(g,N,1);ntt(tmp,N,1);
for(LL i=0;i<N;i++) g[i]=(2-tmp[i]*g[i]%p)*g[i]%p;
ntt(g,N,-1);fill(g+n,g+N,0);
}
void pol_ln(LL n,LL *a,LL *h)
{
LL N=1;while(N<n<<1) N<<=1;
fill(g,g+N,0);pol_inv(n,a,g);
for(LL i=0;i<n;i++) h[i]=a[i+1]*(i+1)%p;
fill(h+n,h+N,0);ntt(g,N,1);ntt(h,N,1);
for(LL i=0;i<N;i++) h[i]=h[i]*g[i]%p;
ntt(h,N,-1);
for(LL i=n-1;i>=1;i--) h[i]=h[i-1]*Pow(i,p-2)%p;
fill(h+n,h+N,0);
}
LL n,c[400010];
void solve(LL l,LL r,LL N)
{
if(l==r) {c[l]=-c[l];return;}
LL mid=(l+r)/2;
solve(l,mid,N>>1);solve(mid+1,r,N>>1);
a[0]=b[0]=1;
for(int i=1;i<N;i++) a[i]=b[i]=0;
for(LL i=l;i<=mid;i++) a[i-l+1]=c[i];
for(LL i=mid+1;i<=r;i++) b[i-mid]=c[i];
ntt(a,N,1);ntt(b,N,1);
for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*b[i]%p;
ntt(a,N,-1);
for(LL i=l;i<=r;i++) c[i]=a[i-l+1];
}
LL read()
{
char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
LL x=ch-48;
while(isdigit(ch=getchar())) x=x*10+ch-48;
return x;
}
int main()
{
LL T=read();
while(T--)
{
n=read();
for(LL i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
LL N=1;while(N<(n+1)<<1) N<<=1;
solve(1,n,N);
mem(a);a[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=c[i];
pol_ln(n+1,a,h);for(LL i=0;i<=n;i++) h[i]=h[i+1]*(i+1)%p;
for(int i=n+1;i>=1;i--) h[i]=-h[i-1];h[0]=n;
LL ans=0;for(LL i=1;i<=n;i++) ans^=(h[i]+p)%p;
printf("%lld\n",ans);
}
}