loj2409. 「THUPC 2017」小 L 的计算题 / Sum

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生成函数

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本文详细解析了如何通过分治FFT和多项式求逆解决复杂算法问题，介绍了生成函数、多项式求逆、对数求导等数学技巧在算法竞赛中的巧妙运用，提供了一种高效求解特定数学序列的方法。

题意：

$fk=∑i=1naikf_k=\sum_{i=1}^n a_i^k$
求出 $f_1$ ~ $f_n$

题解：

考虑构造 $f$ 的生成函数 $F$
设 $A(x)=∑jaijxjA(x)=\sum_j a_i^jx^j$
则 $F(x)=∑inA(i)F(x)=\sum_i^n A(i)$
$F$ 的系数即是 $∑i=1naik\sum_{i=1}^n a_i^k$
所以有 $F(x)=∑i=1n11−aixF(x)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{1-a_ix}$
这样就可以分治fft+多项式求逆 $O(nlog^2n)$
然而常数巨大无法AC
接下来的操作就很奇奇妙妙
$=∑i=1n1+aix1−aix=\sum_{i=1}^n 1+\frac{a_ix}{1-a_ix}$

$=n−x∑i=1n−ai1−aix=n-x\sum_{i=1}^n \frac{-a_i}{1-a_ix}$

$=n−x∑i=1n[ln(1−aix)]′=n-x\sum_{i=1}^n [ln(1-a_ix)]'$

$\left[ \sum_{i=1}^n ln(1-a_ix) \right]'$

$\left \{ ln \left[ \prod_{i=1}^n (1-a_ix) \right] \right \}'$
用分治求这个式子就快很多，然后再求 $l n$ ，求导即可
~~听说是套路，自闭~~
code：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define mem(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define LL long long
using namespace std;
const LL p=998244353,yg=3;
LL bin[1600010],a[1600010],g[1600010],h[1600010],tmp[1600010],b[1600010];
LL Pow(LL a,LL b)
{
	LL ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void ntt(LL *a,LL n,LL op)
{
	for(LL i=0;i<n;i++) bin[i]=(bin[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
	for(LL i=0;i<n;i++) if(i<bin[i]) swap(a[i],a[bin[i]]);
	for(LL i=1;i<n;i<<=1)
	{
		LL wn=Pow(yg,op==1?(p-1)/(i<<1):p-1-(p-1)/(i<<1)),t,w;
		for(LL j=0;j<n;j+=i<<1)
		{
			w=1;
			for(LL k=0;k<i;k++)
			{
				t=a[i+j+k]*w%p;w=wn*w%p;
				a[i+j+k]=(a[j+k]-t)%p;a[j+k]=(a[j+k]+t)%p;
			}
		}
	}
	if(op==-1)
	{
		LL Inv=Pow(n,p-2);
		for(LL i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*Inv%p;
	}
}
void pol_inv(LL n,LL *a,LL *g)
{
	if(n==1) {g[0]=Pow(a[0],p-2);return;}
	pol_inv((n+1)>>1,a,g);
	LL N=1;while(N<n<<1) N<<=1;
	copy(a,a+n,tmp);fill(tmp+n,tmp+N,0);
	ntt(g,N,1);ntt(tmp,N,1);
	for(LL i=0;i<N;i++) g[i]=(2-tmp[i]*g[i]%p)*g[i]%p;
	ntt(g,N,-1);fill(g+n,g+N,0);
}
void pol_ln(LL n,LL *a,LL *h)
{
	LL N=1;while(N<n<<1) N<<=1;
	fill(g,g+N,0);pol_inv(n,a,g);
	for(LL i=0;i<n;i++) h[i]=a[i+1]*(i+1)%p;
	fill(h+n,h+N,0);ntt(g,N,1);ntt(h,N,1);
	for(LL i=0;i<N;i++) h[i]=h[i]*g[i]%p;
	ntt(h,N,-1);
	for(LL i=n-1;i>=1;i--) h[i]=h[i-1]*Pow(i,p-2)%p;
	fill(h+n,h+N,0);
}
LL n,c[400010];
void solve(LL l,LL r,LL N)
{
	if(l==r) {c[l]=-c[l];return;}
	LL mid=(l+r)/2;
	solve(l,mid,N>>1);solve(mid+1,r,N>>1);
	a[0]=b[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++) a[i]=b[i]=0;
	for(LL i=l;i<=mid;i++) a[i-l+1]=c[i];
	for(LL i=mid+1;i<=r;i++) b[i-mid]=c[i];
	ntt(a,N,1);ntt(b,N,1);
	for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*b[i]%p;
	ntt(a,N,-1);
	for(LL i=l;i<=r;i++) c[i]=a[i-l+1];
}
LL read()
{
	char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	LL x=ch-48;
	while(isdigit(ch=getchar())) x=x*10+ch-48;
	return x;
}
int main()
{
	LL T=read();
	while(T--)
	{
		n=read();
		for(LL i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
		LL N=1;while(N<(n+1)<<1) N<<=1;
		solve(1,n,N);
		mem(a);a[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=c[i];
		pol_ln(n+1,a,h);for(LL i=0;i<=n;i++) h[i]=h[i+1]*(i+1)%p;
		for(int i=n+1;i>=1;i--) h[i]=-h[i-1];h[0]=n;
		LL ans=0;for(LL i=1;i<=n;i++) ans^=(h[i]+p)%p;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}