LOJ #6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对

最新推荐文章于 2021-10-29 22:02:17 发布
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分类专栏： 计数 DP
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博客探讨了LOJ #6077题目中逆序对的计数问题，将其转化为不定方程求解的数学问题。通过容斥原理和特定的DP方法，计算在限制条件下的方案数，提出了一种复杂度为O(450*m)的解决方案。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

这题（BZOJ2431的加强版）厉害了。。。

考虑从小到大加入数，则i就可以让逆序对数+[0,i-1]

问题就变为了现在有一个不定方程:x1+..+xn=m,且0<=xi<=i-1

考虑用容斥，于是要计算F(i,j)表示[1,n]选i个数和为j的方案数

则最终答案为sum{(F(0,j)-F(1,j)+F(2,j)-...)*(和为m-j有n个变量的不定方程解的个数)}(j=0..m)


如何计算F(i,j)呢?一个显然的方法是类似背包的DP,不过这题目有点特殊。可以假设你现在有一个序列，你每次可以选择把序列整体+若干1,然后再添一个1，然后再+若干1。由于可能会加到大于n,把这部分减掉就好了.

这样最多只能弄大概450次，于是复杂度就是O(450*m)


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[Loj 6077][容斥]逆序对
ezoileaner的博客
09-21 417
题意：给你n,k 求长度为n的排列，逆序对个数为k的方案数 n,k⩽105n,k\leqslant 10^5n,k⩽105 答案 mod 10^9+7 解法:下面说根号的解法 首先，这相当于求∑ai=k(0⩽ai<i)\sum a_i=k(0\leqslant a_i<i)∑ai​=k(0⩽ai​<i)的解 容斥以后 如果超过k\sqrt kk​个数超过，显然不可能 考虑不超过k...
[倍增NTT][DP] LOJ#6059. 「2017 山东一轮集训 Day1」Sum
Vectorxj的博客
10-12 1083
DescriptionDescription求有多少nn位十进制数是pp的倍数且每位之和小于等于mi(mi=0,1,2,…,m−1,m)m_i (m_i = 0, 1, 2, \ldots, m - 1, m)，允许前导00，答案对998244353998244353取模。SolutionSolution考虑DP。 设dpi,j,kdp_{i,j,k}为考虑前ii位，膜pp为jj，数位和为kk的方
[容斥 DP] LOJ#6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对
CE玩家
10-16 1104
考虑从小到大加入一个数，加入 ii 时会增加大于0小于 ii 对逆序对那么就相当于求 ∑ai=k\sum a_{i} = k 的方案数，其中 ai<ia_i<i这就是个很经典的背包了——BZOJ2431但是这题不能用背包来做考虑容斥。朴素的容斥要枚举哪些超过限制，这样复杂度是指数级别的，但是很多是有重复的令 fi,jf_{i,j} 表示用 ii 个数组成 jj 的方案数gi=∑fi,j×(n+k−j
「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 - 容斥 - 分块背包
Mys_C_K的博客
12-10 533
我不会整数划分 考虑dp，转移方程形如f(i,j)=∑k=0i−1f(i−1,j−k)f(i,j)=\sum_{k=0}^{i-1}f(i-1,j-k)f(i,j)=∑k=0i−1​f(i−1,j−k) 因此答案是方程∑i=0nxi=k,∀i∈[1,n],xi∈[0,i)\sum_{i=0}^n x_i=k,\forall i\in[1,n],x_i\in[0,i)∑i=0n​xi​=k,∀i∈[...
loj 6077 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对
qq_42925924的博客
12-29 323
loj 6077 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 题目传送门 一个经典问题 我们一个一个加入元素，第i个贡献的逆序对数量在区间[0,i−1][0,i-1][0,i−1]内 问题也就是有多少个排列xxx满足: ∑ixi=k ∣ xi∈[0,i−1] \sum _{i}x_i=k\ |\ x_i\in [0,i-1] i∑​xi​=k ∣ xi​∈[0,i−1] 可以考虑容斥： 如果有j个不满足条件，也就是xi≥ix_i\geq ixi​≥i 我们可以将不满足
LOJ#6040. 「雅礼集训 2017 Day5」矩阵
DZYO的博客
06-01 1080
传送门 题解： 我们考虑一组A∗B≡C(mod2)A∗B≡C(mod2)A*B \equiv C \pmod{2}的一组合法解中A,CA,CA,C的关系。 首先CCC的列向量一定在AAA的列向量所组成的线性空间里（根据矩阵乘法的过程）。 具体，我们设AAA的秩为xxx，那么合法BBB的个数就有(2n−x)n(2n−x)n(2^{n-x})^n 个（因为每一列对应一个异或方程组，自由变量都有...
LOJ #6041. 「雅礼集训 2017 Day7」事情的相似度（SAM，LCT）
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04-29 315
题目 建后缀自动机，答案变为求[l,r][l,r][l,r]中两个后缀的lcalcalca最大深度。 从[1...r]access[1...r]access[1...r]access，维护每个splaysplaysplay的最晚被访问时间，那么如果在rrr的accessaccessaccess到了一个最晚被访问时间为xxx的点yyy，那么[1...x,r][1...x,r][1...x,r]的答案...
LOJ6066：「2017 山东一轮集训 Day3」第二题
Cyhlnj
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LOJ6077「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 （生成函数+多项式exp？朴素DP！）
DD(XYX)的硫氰化氘博客
08-09 518
给我推吐了……最后才发现已经把多项式exp、ln、求逆给忘了
loj6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对
a6t2007的博客
07-05 242
题目描述： loj 题解： 容斥+生成函数。 考虑加入的第$i$个元素对结果的贡献是$[0,i-1]$，我们可以列出生成函数。 长这样：$(1)*(1+x)*(1+x+x^2)*……*(1+x+x^2+……+x^{n-1})=\frac{\prod_{i=1}^{n}1-x^i}{(1-x)^n}$ 把分母提出来：$\frac{1}{(1-x)^n} = (1+x+x^2+…...
【转化DP/多项式exp】LOJ6077 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对
MEET YOU FIRST TIME
02-07 615
【题目】 LOJ 给定n,kn,kn,k，求长度为nnn的排列逆序对数恰好为kkk的排列个数，对109+710^9+7109+7取模。n,k≤105n,k\leq 10^5n,k≤105 【解题思路】 emmm一眼好像是生成函数？ 考虑每次新加进来第iii个数的贡献，可能贡献就是0∼i−10\sim i-10∼i−1个逆序对。那么我们就有生成函数： f(x)=1×(1+x)×(1+x+x2)⋯=∏...
【LOJ #6077】「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对（生成函数+DP）
Stargazer的博客
02-02 339
传送门 设f[i][j]f[i][j]f[i][j]为iii个数，逆序对数位jjj的方案数 显然枚举iii放在哪里可以得到dpdpdp式 f[i][j]=∑k=0min(i−1,j)fi−1,j−kf[i][j]=\sum_{k=0}^{min(i-1,j)}f_{i-1,j-k}f[i][j]=∑k=0min(i−1,j)​fi−1,j−k​ 写成生成函数的形式 实际上就是∏i=0n−1(∑j=...
「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对（生成函数）（容斥）（DP）
FSYo 的博客
01-29 532
传送门 题意：长度为 nnn，有 kkk 个逆序对的排列个数？ n,k≤1e5n,k\le 1e5n,k≤1e5 考虑新填一个数 iii 进去，可能产生的贡献为 [0,i−1][0,i-1][0,i−1]，于是问题等价于： ∑i=1nai=k,ai∈[0,i−1]\sum_{i=1}^na_i=k,a_i\in[0,i-1]∑i=1n​ai​=k,ai​∈[0,i−1] 的方案数 其实可以大力生成...
Loj #6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对
xmr_pursue_dreams的博客
12-15 321
Loj #6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 Solution 令fi,jf_{i,j}fi,j​表示前iii个数产生jjj个逆序对的方案数，每次考虑把i+1i+1i+1加入，有i+1i+1i+1个插入位置分别产生0..i0..i0..i个新的逆序对。 因此fnf_{n}fn​的生成函数为(1+x)(1+x+x2)…(1+x+…xn−1)(1+x)(1+x+x^2)\dots (1+x+\dots x^{n-1})(1+x)(1+x+x2)…(1+x+…xn−1) 即fn=(1−x)(1
loj #6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对
weixin_30446197的博客
04-20 203
#6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 题目描述 给定n,k n, kn,k，请求出长度为n nn的逆序对数恰好为k kk的排列的个数。答案对109+7 10 ^ 9 + 710​9​​+7取模。 对于一个长度为n nn的排列p pp，其逆序对数即满足i<j i < ji<j...
[LOJ6077][2017 山东一轮集训 Day7]逆序对
StaroForgin的博客
08-09 284
JZM直接变成苣狗了。
【LOJ6077】【2017 山东一轮集训 Day7】逆序对（排列计数DP，容斥，旋转体积背包）
ez_lcw的博客
10-29 365
搞不懂排列计数。 一种计数方法是考虑从小往大往当前排列中插入每个数，存在一次插的位置不同那么最后的结果也不同。 那么考虑插入 iii 时，对于 x∈[0,i−1]x\in[0,i-1]x∈[0,i−1] 均有且仅有一种方法使得逆序对个数增加 xxx。 法一： 考虑 DP，设 fi,jf_{i,j}fi,j​ 表示插入了 iii 个数，已经有 jjj 个逆序对的方案数，那么有转移 fi,j=∑l=0i−1fi−1,j−lf_{i,j}=\sum\limits_{l=0}^{i-1}f_{i-1,j-l}fi,
[2017 山东一轮集训 Day7]逆序对
MachineryCountry的博客
08-09 250
壹、题目描述 ¶ 传送门 to LOJ. 贰、题解 ¶ 本来有一种十分完美的生成函数解法。 我们不难发现，最后的多项式实际上就是： ∏i=1n1−xi1−x \prod_{i=1}^n{1-x^i\over 1-x} i=1∏n​1−x1−xi​ 我们可以将分子全部拿出来看看： ∏i=1n(1−xi) \prod_{i=1}^n(1-x^i) i=1∏n​(1−xi) 这不禁让人想起了付公主的背包，使用类似的方法进行化简： (∗)=exp⁡(∑i=1nln⁡(1−xi))=exp⁡(∑i=1n∫−ixi−1
LOJ6354 & 洛谷4366：[Code+#4]最短路——题解
05-17
这道题需要使用 Dijkstra ...7. dist 数组中的值即为源点到每个节点的最短距离。 注意事项： 1. Dijkstra 算法只适用于没有负权边的图。 2. Dijkstra 算法不能处理有向无环图中的负权边。 下面是 Python 代码实现：
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