AtCoder Grand Contest 030F - Permutation and Minimum

最新推荐文章于 2024-03-25 12:49:53 发布

fyc_kabuto

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本文探讨了一种使用动态规划解决数列匹配问题的方法，特别关注于在给定条件下找到匹配数列的所有可能方案。通过详细的算法描述和代码实现，展示了如何高效地处理数列的配对问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

设 $b_i=min(a_{2i},a_{2i-1})$
先给出 $a$ 部分，将其补全，问 $b$ 数列的方案数。

题解：

~~n越小越难系列~~
首先将两位都确定得踢掉，然后将剩下的数拿出来，有些位置是确定的，有 $c_i$ 表示。
那么现在两两配对（不能两个 $c_i$ 都为1），且只关心较小的那个。
从后往前DP。记 $f_{i,j,k}$ 表示已经处理完了 $i$ 后面的数，有多少个 $j>i,c_j=1$ 的数匹配的是 $\leq i$ 的数，有多少个 $j>i,c_j=0$ 的数匹配的是 $\leq i$ 的数。
转移分三种情况。
$i$ 跟前面的配对，直接转移。
$i$ 跟后面的 $j$ 配对且 $c_j=0$ ，直接转移。
$i$ 跟后面的 $j$ 配对且 $c_j=1$ ，这里要乘上 $j$ 的个数，因为 $j$ 的位置是固定的，跟不同的配对视为不同情况。
因为 $b$ 的顺序不定，最后还要乘上 $c n t!$
code：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,a[610],b[610],cnt=0,num=0,c[610];
int f[610][310][310];
void add(int &a,int b) {a+=b;a-=(a>=mod)?mod:0;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=2*n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=2*n;i+=2)
	{
		if(a[i]!=-1&&a[i+1]!=-1) b[a[i]]=b[a[i+1]]=2;
		else if(a[i]!=-1) b[a[i]]=1;
		else if(a[i+1]!=-1) b[a[i+1]]=1;
		else cnt++;
	}
	for(int i=1;i<=2*n;i++)
	{
		if(b[i]==0) c[++num]=0;
		if(b[i]==1) c[++num]=1;
	}
	f[num][0][0]=1;
	for(int i=num;i>=1;i--)
		for(int j=0;j<=min(num,n);j++)
			for(int k=0;k<=min(num,n);k++)
				if(c[i]==1)
                {
                    add(f[i-1][j+1][k],f[i][j][k]);
                    if(k) add(f[i-1][j][k-1],f[i][j][k]);
                }
                else
                {
                    add(f[i-1][j][k+1],f[i][j][k]);
                    if(k) add(f[i-1][j][k-1],f[i][j][k]);
                    if(j) add(f[i-1][j-1][k],(LL)f[i][j][k]*j%mod);
                }
    int ans=f[0][0][0];
    for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=(LL)ans*i%mod;
    printf("%d",ans);
}