lyndon word学习笔记

最新推荐文章于 2025-04-09 08:32:49 发布

OI界第一麻瓜

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分类专栏：高二生活

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本文探讨了Lyndon Words的概念及其在字符串划分中的应用，介绍了三种构造Lyndon划分的方法，包括利用单调栈、后缀数组及Duval算法，并提供了一道相关例题的解析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

似乎是一个很冷门的东西，但是还是有点小用处的
于是花了一个下午学习了一下
~~你为什么要学什么久啊。。~~

定义

一个串 $S$ 是 $lyndon\ word$ ，当且仅当满足整个串是最小的后缀
定义字符串的大小关系就是字典序的大小关系

性质

当 $u$ , $v$ 均为 $lyndon\ word$ ，且 $u$ < $v$ ，那么 $u v$ 也是一个 $lyndon\ word$
其中uv就是把两个串拼起来，证明还是比较显然的，这里就不证了

Lyndon 划分

对于一个字符串，如果可以划分为若干个串 $S=p_1+p_2+p_3+.....+p_n$
使得每一个 $p$ 都是一个 $lyndon\ word$ ，并且 $p_i\ge p_{i+1}$
可以发现，一个字符串，一定存在一种 $L y n d o n$ 划分
证明可以用构造法来证明
一开始先所有 $p$ 设为单个字母
那么显然，对于第一个条件是满足的
那么只需要满足递减的关系就可以了
可以发现 $p_i\lt p_{i+1}$ ，他合起来也是一个 $lyndon\ word$
并且可以发现，一个串，他的 $L y n d o n$ 划分是唯一的

构造Lyndon 划分方法1

上一个部分告诉了我们求 $L y n d o n$ 划分的一个方法
就是维护类似单调栈的东西就可以了
但是，这里涉及到要快速的比两个字符串的大小，似乎除了二分hash没有什么办法
因此复杂度会多一个 $l o g$ ，也就是 $n l o g n$

构造Lyndon 划分方法2

可以发现，这个玩意可以用后缀数组来实现
把串反串
把后缀排序，每次取最前的，然后一直取到尾，直到某个元素被取过位置
yy一下不难得到这个做法的正确性
那么复杂度就取决于后缀数组的复杂度了
用倍增算法就是 $n l o g n$ 的，如果使用dc3，就可以做到 $O (n)$ 了
~~如果二分hash就是 $nlog^2$~~

构造Lyndon 划分方法3

$D u v a l$ 算法
是一个专门解决这个问题的方法，时间复杂度也是线性的
就是维护三个指针 $i, j, k$
$i$ 表示，我们现在要划分的开头，也就是 $[1, i - 1]$ 都已经划分好了
然后，我们对于 $p_i$ 相同的一起构造
至于j和k的具体定义，似乎也不是很好说，那就先看算法过程来感受一下吧
一开始 $j = i, k = i + 1$ ，然后开始循环
分三个情况
$a [k] > a [j]$ 那么以当前串一定不可能比原来的小，于是j=i,k++
$a [k] = a [j]$ 那么以当前串可能会小，于是j++,k++
$a [k] < a [j]$ 那么这里一定要断开了，退出循环
可以发现，这里的 $p$ 的长度就是 $k - j$ ，然后从 $i$ 开始有若干个循环节
把这些循环节的开头全部弄出来，直到 $i > j$ 为止
那么，我们就会得到一个新的 $i$ ，且 $[1, i - 1]$ 都划分好了
并且一定满足递减的条件
至于时间复杂度，可以发现，一个位置最多只会被经过三次，因此是 $O (n)$ 的，常数较小
这个的话yy还是挺好证明的
代码大概是这样的

cnt=0;int u=1,i,j;
while (u<=n)
{
	for (i=u,j=i+1;j<=n&&ss[j]>=ss[i];j++)
	{
		if (ss[j]>ss[i])	i=u;
		else i++;
	}
	while (u<=i)	{x[++cnt]=u+(j-i)-1;u=u+(j-i);}
}