Lyndon

本文介绍了Lyndon串的概念,包括其定义、性质及Lyndon分解算法。Lyndon串是一种特殊的字符串,其字典序小于所有后缀。文章还详细解释了如何通过比较字符来实现Lyndon串的分解,提供了完整的C++代码示例。

Lyndon

1、若一个串的字典序比他所有后缀字典序小,这个串就是Lyndon串
2、如果两个串u,v都是Lyndon串,且u<v,则uv也是Lyndon
3、Lyndon分解:
对于字符串S,如果可以分解成S=s1+s2+…+sn
且:①每一个si都是Lyndon;②si>=si+1。
Lyndon分解一定L存在且唯一。

模板题:https://loj.ac/problem/129

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1100000
using namespace std;
char ch[N];
int ans[N];
int main()
{
	scanf("%s", ch + 1);
	int n = strlen(ch + 1), cnt = 0;
	
	for(int i=1; i<=n; )
	{
		int j = i, k = i + 1;
		while(k <= n)
		{
			if(ch[j] < ch[k]) j = i, ++k;
			else if(ch[j] == ch[k]) ++j, ++k;
			else break;
		}
		while(i <= j)
		{
			ans[++cnt] = i + (k - j) - 1;
			i = ans[cnt] + 1;
		}
	}
	
	for(int i=1; i<=cnt; ++i) printf("%d ", ans[i]); 
}
### 字符串 'aabbab' 的分析过程 字符串 `aabbab` 的分析可以结合多种算法和数据结构进行,例如 Lyndon 分解、后缀自动机(SAM)、以及子串分析等。以下是针对该字符串的详细分析: --- #### 1. **Lyndon 分解** Lyndon 分解是一种将字符串分解为多个不可约的 Lyndon 单词的方法[^1]。对于字符串 `aabbab`,其 Lyndon 分解过程如下: - 首先,从左到右寻找最小的不可约单词。 - 字符串 `aabbab` 可以被分解为两个 Lyndon 单词:`a` 和 `abbab`。 - 进一步分解 `abbab`,得到 `ab` 和 `bab`。 - 最终的 Lyndon 分解为:`a`, `ab`, `ab`。 因此,字符串 `aabbab` 的 Lyndon 分解为 `[a, ab, ab]`。 --- #### 2. **后缀自动机构建** 后缀自动机(SAM)是用于高效处理字符串子串问题的数据结构[^3]。以下是构建字符串 `aabbab` 的后缀自动机的过程: - **初始化**:创建一个初始状态 `s0`,表示空字符串的状态。 - **逐字符插入**:依次插入字符 `a`, `a`, `b`, `b`, `a`, `b`,并更新状态转移和后缀链接。 以下是 SAM 的关键状态转移表(简化版): | 状态 | 转移字符 | 转移到状态 | |------|----------|------------| | s0 | a | s1 | | s1 | a | s2 | | s2 | b | s3 | | s3 | b | s4 | | s4 | a | s5 | | s5 | b | s6 | 最终的 SAM 结构能够识别所有子串,并且每个状态对应一个或多个子串[^3]。 --- #### 3. **子串分析** 根据引理,同一 `endpos` 等价类中的子串具有特定性质:较短者为较长者的后缀,且长度覆盖区间 `[x, y]`[^4]。对于字符串 `aabbab`,以下是一些重要的子串及其特性: - 子串 `aabbab`:整个字符串。 - 子串 `abbab`:去掉第一个字符后的子串。 - 子串 `bbab`:去掉前两个字符后的子串。 - 子串 `bab`:去掉前三个字符后的子串。 - 子串 `ab`:去掉前四个字符后的子串。 - 子串 `b`:去掉前五个字符后的子串。 这些子串可以通过后缀自动机高效地提取和分析[^4]。 --- #### 4. **周期性分析** 通过 Lyndon 分解,可以确定字符串的最小周期。对于字符串 `aabbab`,其最小周期为 `6`,因为它是不可约的(无法进一步分解为更小的重复单元)。 --- ### 示例代码 以下是基于 Python 的 Lyndon 分解实现示例: ```python def lyndon_decomposition(s): n = len(s) i = 0 result = [] while i < n: j = i + 1 k = i while j < n and s[k] <= s[j]: if s[k] < s[j]: k = i else: k += 1 j += 1 while i <= k: result.append(s[i:j-k+i]) i += j - k return result # 测试字符串 s = "aabbab" print(lyndon_decomposition(s)) # 输出: ['a', 'ab', 'ab'] ``` --- ####
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