第九章代数系统 + 群、环、域 + 格，布尔代数

最新推荐文章于 2025-06-25 15:00:57 发布

qq_36424540

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分类专栏：离散数学

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本文深入探讨了代数系统的基本概念，包括二元运算、一元运算、代数系统的同态与同构，以及群、环、域、格与布尔代数等典型代数系统的特点与性质。详细解析了群的陪集分解、拉格朗日定理，以及环、域的定义与区别。

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1.二元运算：设 $\large S$ 为集合，函数 $\large f:S\times S\rightarrow S$ 称为 $\large S$ 上的二元运算。

两个性质：唯一性(函数 $\large f$ ), 封闭性（定义）

符号记为： $\large x\cdot y=z$

2.一元运算：设 $\large S$ 为集合，函数 $\large f:S\rightarrow S$ 称为 $\large S$ 上的一元运算

符号记为： $\large \cdot (x)=y$

二元运算的性质：

单个二元运算

交换律：对于任意的 $\large x,y$ $\large \in S$ , 都有 $\large x\cdot y=y\cdot x$

结合律: 对于任意的 $\large x,y,z\in S$ , 都有 $\large (x\cdot y)\cdot z=x \cdot (y \cdot z)$

幂等律：确定对于任意的 $\large x\in S$ , 都有 $\large x\cdot x=x$

消去律：如果对于任意的 $\large x,y,z\in S$

(1):若 $\large x\cdot y = x\cdot z$ , 且 $\large x\neq \Theta$ 则 $\large y=z$

（2）若 $\large y\cdot x= z\cdot x$ , 且 $\large x\neq \Theta$ , 则 $\large y=z$

我们称 $\large \cdot$ 满足消去律

两个二元运算

分配律：对于任意的 $\large x,y,z\in S$ , 都有

$\large x*(y\cdot z)=(x*y)\cdot (x*z)$ , $\large (y\cdot z)*x=(y*x)\cdot (z*x)$

我们称 $\large *$ 对 $\large \cdot$ 可分配

吸收律： $\large \cdot$ 和 $\large *$ 是 $\large S$ 上可交换的二元运算，如果对于任意的 $\large x,y$ ,都有

$\large x\cdot (x*y)=x$

$\large x*(x\cdot y)=x$

称其满足吸收率

单位元零元两者都是唯一的

逆元：在运算时可结合的情况下，逆元是唯一的

代数系统：

设非空集合 $\large S$ 和 $\large S$ 上的一元、二元运算 $\large f_{1},f_{2},...,f_{k}$ 组成的系统称为代数系统，记做 $\large <S,f_{1},f_{2},..f_{k}.>$

同类型的代数系统：两个代数系统的 运算个数，运算元数，代数常数的个数相同

如果对运算的算律 进行规定，满足条件的代数系统就会有着完全相同的性质，从而成为一类代数系统。

子代数：设 $\large V=<S,f_{1},f_{2},...,f_{k}>$ , $\large B\subseteq S$ , 如果 $\large B$ 对 $\large f_{?}$ 都是封闭的，并且和 $\large B$ 有着相同的代数常数，我们

称 $\large <B,f_{1},f_{2},...,f_{k}>$ 是 $\large V$ 的子代数系统，简称子代数

基本可以保留 $\large V$ 的运算性质

积代数：设 $\large V_{1}=<A,\cdot>, V_{2}=<B,*>$ 是同类型的代数系统，

$\large <a_{1},b_{1}>\bigstar <a_{2},b_{2}>=<a_{1}\cdot a_{2},b_{1} * b_{2}>$ ,

称 $\large V=<A\times B,\cdot>$ , 为 $\large V_{1}$ 和 $\large V_{2}$ 的积代数

消去律的性质不能保留。

代数系统的同态和同构

如果对于 $\large V_{1}=<A,\cdot>, V_{2}=<B,*>$ , $\large f: A\rightarrow B$ 且 $\large \forall x,y \in A$

有 $\large f(x\cdot y)=f(x)*f(y)$ , 称 $\large f$ 为 $\large V_{1}$ 到 $\large V_{2}$ 的同态映射，简称同态

根据 $\large f$ , 可以将其分为单射，满射，双射(称为同构）

几种典型的代数系统

群与环

1.设 $\large V=<S,\star>$ , 如果 $\large \star$ 是可结合的，我们称 $\large V$ 是半群

2. 如果 $\large V$ 有 $\large \star$ 的单位元，我们称 $\large V$ 是独异点，或者幺半群

3. 如果 S 中的任意元素都有逆元，我们称 $\large V$ 是群

如果 $\large V$ 为群，则群一定满足 消去律

子群与群的陪集分解

三个判定定理：

(1) $\large \forall a,b\in H,$ 有 $\large ab\in H$

(2) $\large \forall a \in H$ , 有 $\large a^{-1}\in H$

$\large \forall a,b\in H$ ,有 $\large ab^{-1}\in H$

3. 对于有穷子集

$\large \forall a,b$ $\large ab\in H$

右陪集：

设 H 是 G 的子集， $\large a\in G$ , 令 $\large Ha=(ha|a\in G)$ , 称 $\large Ha$ 是子群 $\large H$ 在 $\large G$ 中的右陪集，称 $\large a$ 是 $\large Ha$ 的代表元素。

拉格朗日定理：

设 $\large G$ 是有限群， $\large H$ 是 $\large G$ 的子群，则 $\large |G|=|H| \cdot |G:H|$

描述： $\large G$ 的所有子群的阶都是 $\large |G|$ 的因子，但反之如果能整除不一定代表这个群是群 $\large G$ 的因子

推论1：设 $\large |G|=n$ , 则 $\large \forall x\in G$ , $\large |x|$ 是 $\large n$ 的因子，且有 $\large a^{n}=e$

推论2：设 $\large G$ 是素数阶的群，则存在 $\large a\in G$ , 使得 $\large G=<a>$

循环群和置换群

循环群： 如果存在 $\large a\in G$ , 使得 $\large G=<a>$ ,我们称 $\large G$ 为循环群， $\large a$ 为生成元

生成元:

如果 $\large G$ 是无限循环群，则 $\large G$ 只有两个生成元， $\large a, a^{-1}$

如果 $\large G$ 是 $\large n$ 阶循环群，则 $\large G$ 有 $\large \phi (n)$ 个生成元，小于 $\large n$ 且与 $\large n$ 互素的自然数 $\large r$ , $\large a^{r}$ 是 $\large G$ 的生成元

环、域

环：有两个二元运算的代数系统

（1） $\large <R,+>$ 是交换群

（2） $\large <R,*>$ 是半群

(3) $\large *$ 对 $\large +$ 满足分配律

则称 $\large <R,+,*>$ 是环

域：（对 * 进行限制）

（1）如果 * 满足交换律，则称 $\large R$ 为交换环

(2) 如果 * 存在单位元，称 $\large R$ 为含幺环

（3）若 $\large \forall a,b\in S$ , $\large ab=0\Rightarrow (a=0)\vee (b=0)$

（4）满足（1），(2), (3) 称 $\large R$ 为整环

（5） $\large R$ 是整环，并且至少含有两个元素，若 $\large \forall a \in R^{*}=R-{0}$ , 都有 $\large a^{-1} \in R$ , 称 $\large R$ 为域

格与布尔代数：

有两个二元运算的代数系统。

定义：设 $\large <S,\leq >$ 是一个偏序集，如果 $\large \forall x,y \in S$ , $\large (x,y)$ 都有最小上界和最大下界，我们称 $\large S$ 关于偏序构成一个格。

定律定义格：如果 $\large <S,*,+>$ , 满足交换律，结合律和吸收律，我们称 $\large <S,*,+>$ 为格。

分配格：

满足分配律，称为分配格

分配格的充分必要条件： 格的子格中没有和钻石格，五角格同构的子格

补元： $\large a\wedge b=0$ 且 $\large a\vee b=1$ , 称 b 是 a 的补元

如果一个格是有补分配格，我们称他为布尔代数。

第九章 代数系统 + 群、环、域 + 格，布尔代数