50、组合电路与布尔代数的性质解析

组合电路与布尔代数的性质解析

组合电路的性质

在之前的内容中，我们定义了在集合 (Z_2 = {0, 1}) 上的两个二元运算符 (\land) 和 (\lor)，以及一个一元运算符。这些运算符可以在电路中以门的形式实现。接下来，我们将探讨由 (Z_2) 和这些运算符组成的系统的一些性质。

定理 11.2.1

若 (\land)、(\lor) 和一元运算符如定义 11.1.1 - 11.1.3 所定义，则以下性质成立：
1. 结合律 ：
- ((a \lor b) \lor c = a \lor (b \lor c))
- ((a \land b) \land c = a \land (b \land c))，对于所有 (a, b, c \in Z_2)。
2. 交换律 ：
- (a \lor b = b \lor a)
- (a \land b = b \land a)，对于所有 (a, b \in Z_2)。
3. 分配律 ：
- (a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c))
- (a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c))，对于所有 (a, b, c \in Z_2)。
4. 同一律 ：
- (a \lor 0 = a)
- (a \land 1 = a)，对于所有 (a \in Z_2)。
5. 补律 ：
- (a \lor \overline{a} = 1)
- (a \land \overline{a} = 0)，对于所有 (a \in Z_2)。

证明过程通常是直接验证。这里我们仅证明第一个分配律，其他等式留作练习。

要证明 (a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)) 对于所有 (a, b, c \in Z_2) 成立，我们只需对 (Z_2) 中 (a)、(b) 和 (c) 的所有可能取值计算等式两边的值，并验证在每种情况下结果是否相同。具体如下表所示：
| (a) | (b) | (c) | (a \land (b \lor c)) | ((a \land b) \lor (a \land c)) |
| — | — | — | — | — |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

示例 11.2.2

通过使用定理 11.2.1，证明图 11.2.1 中的组合电路对于给定的相同输入具有相同的输出。这两个组合电路对应的布尔表达式分别为 (x_1 \lor (x_2 \land x_3)) 和 ((x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3))。根据定理 11.2.1(c)，(a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)) 对于所有 (a, b, c \in Z_2) 成立，所以这两个组合电路对于给定的相同输入具有相同的输出。

任意布尔表达式被定义为相等，如果它们对于所有可能的位赋值给文字都具有相同的值。

定义 11.2.3

设 (X_1 = X_1(x_1, \ldots, x_n)) 和 (X_2 = X_2(x_1, \ldots, x_n)) 是布尔表达式。如果对于所有 (a_i \in Z_2)，都有 (X_1(a_1, \ldots, a_n) = X_2(a_1, \ldots, a_n))，则我们定义 (X_1) 等于 (X_2)，并写作 (X_1 = X_2)。

示例 11.2.4

证明 (\overline{(x \lor y)} = \overline{x} \land \overline{y})。根据定义 11.2.3，若该等式对于 (Z_2) 中所有 (x) 和 (y) 的选择都成立，则等式成立。我们可以通过构造一个列出所有可能性的表格来验证：
| (x) | (y) | (\overline{(x \lor y)}) | (\overline{x} \land \overline{y}) |
| — | — | — | — |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |

由于结合律的存在，我们可以明确地写出 (a_1 \lor a_2 \lor \cdots \lor a_n) 或 (a_1 \land a_2 \land \cdots \land a_n) （(a_i \in Z_2)）。对应于 (a_1 \lor a_2 \lor \cdots \lor a_n) 的组合电路是 (n) 输入或门，对应于 (a_1 \land a_2 \land \cdots \land a_n) 的组合电路是 (n) 输入与门。

定理 11.2.1 中列出的性质适用于多种系统。任何满足这些性质的系统都称为布尔代数。

在定义了布尔表达式的相等性之后，我们定义组合电路的等价性。

定义 11.2.5

我们说两个组合电路，每个都有输入 (x_1, \ldots, x_n) 和一个单一输出，如果当电路接收到相同的输入时，它们产生相同的输出，则这两个组合电路是等价的。

示例 11.2.6

图 11.2.4 和图 11.2.5 中的组合电路是等价的，因为它们具有相同的逻辑表。

如果我们通过规则 (C_1 R C_2)（如果 (C_1) 和 (C_2) 等价）在一组组合电路上定义一个关系 (R)，则 (R) 是一个等价关系。每个等价类由一组相互等价的组合电路组成。

从定义可以直接得出，组合电路等价当且仅当表示它们的布尔表达式相等。

定理 11.2.7

设 (C_1) 和 (C_2) 分别由布尔表达式 (X_1 = X_1(x_1, \ldots, x_n)) 和 (X_2 = X_2(x_1, \ldots, x_n)) 表示。则 (C_1) 和 (C_2) 等价当且仅当 (X_1 = X_2)。

证明过程：对于 (a_i \in Z_2)，(X_1(a_1, \ldots, a_n))（分别地，(X_2(a_1, \ldots, a_n))）是电路 (C_1)（分别地，(C_2)）对于输入 (a_1, \ldots, a_n) 的输出。根据定义 11.2.5，电路 (C_1) 和 (C_2) 等价当且仅当对于所有可能的输入 (a_1, \ldots, a_n)，它们具有相同的输出 (X_1(a_1, \ldots, a_n)) 和 (X_2(a_1, \ldots, a_n))。因此，电路 (C_1) 和 (C_2) 等价当且仅当对于所有 (a_i \in Z_2)，(X_1(a_1, \ldots, a_n) = X_2(a_1, \ldots, a_n))。而根据定义 11.2.3，该等式成立当且仅当 (X_1 = X_2)。

示例 11.2.8

在示例 11.2.4 中我们证明了 (\overline{(x \lor y)} = \overline{x} \land \overline{y})。根据定理 11.2.7，对应于这些表达式的组合电路是等价的。

布尔代数

我们考虑具有类似于定理 11.2.1 中所给性质的一般系统，这样的系统被称为布尔代数。

定义 11.3.1

布尔代数 (B) 由一个包含不同元素 (0) 和 (1) 的集合 (S)、集合 (S) 上的二元运算符 (+) 和 (\cdot) 以及一元运算符 ( ‘) 组成，并且满足以下定律：
1. 结合律 ：
- ((x + y) + z = x + (y + z))
- ((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z))，对于所有 (x, y, z \in S)。
2. 交换律 ：
- (x + y = y + x)
- (x \cdot y = y \cdot x)，对于所有 (x, y \in S)。
3. 分配律 ：
- (x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z))
- (x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot (x + z))，对于所有 (x, y, z \in S)。
4. 同一律 ：
- (x + 0 = x)
- (x \cdot 1 = x)，对于所有 (x \in S)。
5. 补律 ：
- (x + x’ = 1)
- (x \cdot x’ = 0)，对于所有 (x \in S)。

如果 (B) 是一个布尔代数，我们写作 (B = (S, +, \cdot, ‘, 0, 1))。需要注意的是，结合律可以从其他定律推导得出，因此在定义中可以省略。

示例 11.3.2

根据定理 11.2.1，((Z_2, \lor, \land, \overline{ }, 0, 1)) 是一个布尔代数，其中运算符 (+)、(\cdot)、(‘) 分别对应于 (\lor)、(\land)、(\overline{ })。

按照标准习惯，我们通常将 (a \cdot b) 缩写为 (ab)，并且假设 (\cdot) 的运算优先级高于 (+)，这样可以减少一些括号的使用。

示例 11.3.3

设 (U) 是一个全集，(S = P(U)) 是 (U) 的幂集。如果我们定义以下运算：
- (X + Y = X \cup Y)
- (X \cdot Y = X \cap Y)
- (X’ = \overline{X})

则 ((S, \cup, \cap, \overline{ }, \varnothing, U)) 是一个布尔代数。空集 (\varnothing) 扮演 (0) 的角色，全集 (U) 扮演 (1) 的角色。如果 (X)、(Y) 和 (Z) 是 (S) 的子集，定义 11.3.1 中的性质 (a) - (e) 就变成了集合的以下性质：
1. ((X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z))
- ((X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z))，对于所有 (X, Y, Z \in P(U))。
2. (X \cup Y = Y \cup X)
- (X \cap Y = Y \cap X)，对于所有 (X, Y \in P(U))。
3. (X \cap (Y \cup Z) = (X \cap Y) \cup (X \cap Z))
- (X \cup (Y \cap Z) = (X \cup Y) \cap (X \cup Z))，对于所有 (X, Y, Z \in P(U))。
4. (X \cup \varnothing = X)
- (X \cap U = X)，对于每个 (X \in P(U))。
5. (X \cup \overline{X} = U)
- (X \cap \overline{X} = \varnothing)，对于每个 (X \in P(U))。

接下来，我们将推导布尔代数的其他一些性质。首先证明定义 11.3.1(e) 中的元素 (x’) 是唯一的。

定理 11.3.4

在布尔代数中，定义 11.3.1(e) 中的元素 (x’) 是唯一的。具体来说，如果 (x + y = 1) 且 (xy = 0)，则 (y = x’)。

证明过程如下：
[
\begin{align }
y &= y \cdot 1\
&= y(x + x’)\
&= yx + yx’\
&= xy + yx’\
&= 0 + yx’\
&= xx’ + yx’\
&= x’x + x’y\
&= x’(x + y)\
&= x’ \cdot 1\
&= x’
\end{align }
]

定义 11.3.5

在布尔代数中，我们称元素 (x’) 为 (x) 的补。

我们可以进一步推导出布尔代数的其他性质。

定理 11.3.6

设 (B = (S, +, \cdot, ‘, 0, 1)) 是一个布尔代数，则以下性质成立：
1. 幂等律 ：
- (x + x = x)
- (xx = x)，对于所有 (x \in S)。
2. 边界律 ：
- (x + 1 = 1)
- (x \cdot 0 = 0)，对于所有 (x \in S)。
3. 吸收律 ：
- (x + xy = x)
- (x(x + y) = x)，对于所有 (x, y \in S)。
4. 对合律 ：
- ((x’)’ = x)，对于所有 (x \in S)。
5. 0 和 1 律 ：
- (0’ = 1)
- (1’ = 0)。
6. 布尔代数的德摩根定律 ：
- ((x + y)’ = x’y’)
- ((xy)’ = x’ + y’)，对于所有 (x, y \in S)。

证明过程中，我们将证明 (b) 以及 (a)、(c) 和 (f) 部分的第一个陈述，其余部分留作练习。

• 幂等律证明（第一部分） ：
  [
  \begin{align }
  x &= x + 0\
  &= x + (xx’)\
  &= (x + x)(x + x’)\
  &= (x + x) \cdot 1\
  &= x + x
  \end{align }
  ]
• 边界律证明 ：
  • (x + 1 = (x + 1) \cdot 1 = (x + 1)(x + x’) = x + 1 \cdot x’ = x + x’ \cdot 1 = x + x’ = 1)
  • (x \cdot 0 = x \cdot 0 + 0 = x \cdot 0 + xx’ = x(0 + x’) = x(x’ + 0) = xx’ = 0)
• 吸收律证明（第一部分） ：
  [
  \begin{align }
  x + xy &= x \cdot 1 + xy\
  &= x(1 + y)\
  &= x(y + 1)\
  &= x \cdot 1\
  &= x
  \end{align }
  ]
• 德摩根定律证明（第一部分） ：
  要证明 ((x + y)’ = x’y’)，我们需要证明 ((x + y)(x’y’) = 0) 和 ((x + y) + x’y’ = 1)。
  • 证明 ((x + y)(x’y’) = 0)：
    [
    \begin{align }
    (x + y)(x’y’) &= (x’y’)(x + y)\
    &= (x’y’)x + (x’y’)y\
    &= x(x’y’) + (x’y’)y\
    &= (xx’)y’ + x’(y’y)\
    &= (xx’)y’ + x’(yy’)\
    &= 0 \cdot y’ + x’ \cdot 0\
    &= y’ \cdot 0 + x’ \cdot 0\
    &= 0 + 0\
    &= 0
    \end{align }
    ]
  • 证明 ((x + y) + x’y’ = 1)：
    [
    \begin{align }
    (x + y) + x’y’ &= ((x + y) + x’)((x + y) + y’)\
    &= ((y + x) + x’)((x + y) + y’)\
    &= (y + (x + x’))(x + (y + y’))\
    &= (y + 1)(x + 1)\
    &= 1 \cdot 1\
    &= 1
    \end{align }
    ]

根据定理 11.3.4，(x’y’ = (x + y)’)。

示例 11.3.7

如示例 11.3.3 所解释的，如果 (U) 是一个集合，(P(U)) 可以被视为一个布尔代数。因此，集合的德摩根定律 (\overline{(X \cup Y)} = \overline{X} \cap \overline{Y}) 和 (\overline{(X \cap Y)} = \overline{X} \cup \overline{Y}) 成立。这些等式可以直接验证，但定理 11.3.6 表明它们是其他定律的结果。

我们可以注意到，涉及布尔代数元素的等式通常是成对出现的，这样的对被称为对偶。

定义 11.3.8

涉及布尔表达式的陈述的对偶是通过将 (0) 替换为 (1)、(1) 替换为 (0)、(+) 替换为 (\cdot) 以及 (\cdot) 替换为 (+) 得到的。

示例 11.3.9

((x + y)’ = x’y’) 的对偶是 ((xy)’ = x’ + y’)。

由于布尔代数定义中的每个条件都包含其对偶，我们有以下结果。

定理 11.3.10

布尔代数定理的对偶也是一个定理。

示例 11.3.11

(x + x = x) 的对偶是 (xx = x)。我们之前证明了 (x + x = x)，如果我们写出该证明中每个陈述的对偶，就可以得到 (xx = x) 的证明。

示例 11.3.12

定理 11.3.6 中部分 (b) 的两个陈述的证明是相互对偶的。

综上所述，我们深入探讨了组合电路的性质以及布尔代数的相关内容。组合电路的性质为电路设计和分析提供了基础，而布尔代数则是一种更广泛的数学结构，它包含了许多系统所共有的性质。通过对布尔代数的研究，我们可以更好地理解和处理各种逻辑问题，并且利用其性质进行简化和优化。在实际应用中，这些知识可以帮助我们设计更高效、更可靠的电路和系统。

组合电路与布尔代数的性质解析（续）

布尔代数相关练习与应用

在前面我们了解了布尔代数的定义、性质等理论知识，接下来通过一些练习和应用场景进一步巩固这些知识。

练习

1. 验证集合相关布尔代数性质 ：对于示例 11.3.3 中提到的集合 (U) 及其幂集 (P(U)) 构成的布尔代数，需要验证其性质 (a′) - (e′)。例如验证结合律 ((X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z)) 和 ((X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)) 等，这可以通过集合的基本定义和运算规则来完成。
2. 判断集合是否构成布尔代数 ：
   • 设 (S = {1, 2, 3, 6})，定义 (x + y = lcm(x, y))（最小公倍数），(x \cdot y = gcd(x, y))（最大公约数），(x’ = \frac{6}{x})。要判断 ((S, +, \cdot, ‘, 1, 6)) 是否为布尔代数，就需要逐一验证布尔代数定义中的结合律、交换律、分配律、同一律和补律。
   • 设 (S = {1, 2, 4, 8})，同样定义 (+) 和 (\cdot) 如上述方式，(x’ = \frac{8}{x})，判断 ((S, +, \cdot, ‘, 1, 8)) 不是布尔代数，也需要通过找出不满足布尔代数定义的情况来证明。
3. 关于集合 (S_n) 的布尔代数性质 ：设 (S_n = {1, 2, \ldots, n})，定义 (x + y = max{x, y})，(x \cdot y = min{x, y})。需要证明部分 (a) - (c) 即结合律、交换律、分配律在 (S_n) 上成立，并且探讨在什么条件下可以定义 (0)、(1) 和 ( ‘) 使得 ((S_n, +, \cdot, ‘, 0, 1)) 是布尔代数（当且仅当 (n = 2)）。
4. 等式验证与证明 ：
   • 验证等式 (x_1 \lor x_1 = x_1)、(x_1 \land x_2 = \overline{(x_1 \lor x_2)}) 等，通常可以通过列出所有可能的取值情况，根据布尔代数的定义和性质进行验证。
   • 证明或反驳等式 (x = \overline{\overline{x}})、(x_1 \land x_2 = x_1 \lor x_2) 等，对于证明需要依据布尔代数的定律进行推导，反驳则需要找出反例。

应用示例

在实际应用中，布尔代数的知识可以用于简化电路设计。例如，对于给定的布尔表达式 (x_1 \lor (x_2 \land x_3)) 和 ((x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3))，根据布尔代数的分配律可知它们是相等的，这意味着对应的组合电路是等价的。在设计电路时，我们可以选择使用元件更少、更简单的电路结构，从而降低成本和提高可靠性。

布尔代数中的对偶性应用

布尔代数中的对偶性是一个非常重要的概念，它可以帮助我们简化证明过程和发现新的定理。

对偶性定义回顾

定义 11.3.8 指出，涉及布尔表达式的陈述的对偶是通过将 (0) 替换为 (1)、(1) 替换为 (0)、(+) 替换为 (\cdot) 以及 (\cdot) 替换为 (+) 得到的。例如，((x + y)’ = x’y’) 的对偶是 ((xy)’ = x’ + y’)。

对偶性在证明中的应用

定理 11.3.10 表明布尔代数定理的对偶也是一个定理。这意味着我们在证明一个定理时，如果已经证明了某个陈述，那么其对偶陈述的证明可以通过将原证明中的每个陈述替换为其对偶来完成。例如，在证明 (x + x = x) 后，其对偶 (xx = x) 的证明可以通过写出原证明中每个陈述的对偶得到。

下面通过一个流程图来展示对偶性在证明中的应用过程：

graph LR
    A[已知定理证明] --> B[提取证明中的每个陈述]
    B --> C[将每个陈述替换为其对偶]
    C --> D[得到对偶定理的证明]

对偶性在练习中的体现

在练习中，我们也可以利用对偶性。例如对于陈述 ((x + y)(x + 1) = x + xy + y)，其对偶为 ((xy) + (x \cdot 0) = x(x + y)y)。我们可以先证明原陈述，然后根据对偶性直接得到对偶陈述的正确性。

布尔代数子集相关问题

接下来探讨布尔代数子集构成布尔代数的条件。

问题描述

设 ((S, +, \cdot, ‘, 0, 1)) 是一个布尔代数，(A) 是 (S) 的一个子集。要判断 ((A, +, \cdot, ‘, 0, 1)) 是否为布尔代数，需要满足一定条件。

条件分析

已知 ((A, +, \cdot, ‘, 0, 1)) 是布尔代数当且仅当 (1 \in A) 且 (xy’ \in A) 对于所有 (x, y \in A)。下面详细分析证明过程：
1. 必要性证明 ：
- 若 ((A, +, \cdot, ‘, 0, 1)) 是布尔代数，根据布尔代数的定义，布尔代数包含元素 (1)，所以 (1 \in A)。
- 对于任意 (x, y \in A)，因为 ( ‘) 是 (A) 上的一元运算符，所以 (y’ \in A)，又因为 (\cdot) 是 (A) 上的二元运算符，所以 (xy’ \in A)。
2. 充分性证明 ：
- 证明 (0 \in A) ：已知 (1 \in A) 且 (xy’ \in A) 对于所有 (x, y \in A)，令 (x = y = 1)，则 (1 \cdot 1’ = 0 \in A)（根据定理 11.3.6(e)，(1’ = 0)）。
- 证明 ( ‘) 是 (A) 上的一元运算符 ：对于任意 (y \in A)，令 (x = 1)，则 (1 \cdot y’ = y’ \in A)，所以 ( ‘) 是 (A) 上的一元运算符。
- 证明 (\cdot) 是 (A) 上的二元运算符 ：对于任意 (x, y \in A)，因为 (y’ \in A)，所以 (xy = xy’’ \in A)（根据定理 11.3.6(d)，(y = y’‘)）。
- 证明 (+) 是 (A) 上的二元运算符 ：对于任意 (x, y \in A)，因为 (x’, y’ \in A)，所以 (x’ y’ \in A)，又因为 ((x’ y’)’ \in A)，根据德摩根定律和定理 11.3.6(d)，(x + y = x’’ + y’’ = (x’ y’)’ \in A)。
- 证明其他布尔代数定律成立 ：因为 (A) 是 (S) 的子集，而 ((S, +, \cdot, ‘, 0, 1)) 是布尔代数，所以结合律、交换律、分配律、同一律和补律在 (A) 中自动成立。

下面通过一个表格总结证明步骤：
| 证明步骤 | 操作 | 依据 |
| — | — | — |
| 证明 (0 \in A) | 令 (x = y = 1)，计算 (1 \cdot 1’) | 已知条件和定理 11.3.6(e) |
| 证明 ( ‘) 是一元运算符 | 令 (x = 1)，计算 (1 \cdot y’) | 已知条件 |
| 证明 (\cdot) 是二元运算符 | 利用 (y = y’‘) 计算 (xy) | 定理 11.3.6(d) 和已知条件 |
| 证明 (+) 是二元运算符 | 利用德摩根定律和 (y = y’‘) 计算 (x + y) | 定理 11.3.6(d) 和德摩根定律 |
| 证明其他定律成立 | - | (A) 是 (S) 的子集，(S) 是布尔代数 |

总结

通过对组合电路性质和布尔代数的深入研究，我们掌握了组合电路的基本运算性质，如结合律、交换律、分配律等，这些性质为电路的设计和分析提供了理论基础。布尔代数作为一种广泛应用的数学结构，其定义、性质和对偶性等概念在逻辑问题处理、电路简化等方面具有重要作用。在实际应用中，我们可以利用布尔代数的知识优化电路设计，降低成本和提高可靠性。同时，通过练习和证明，我们进一步巩固了对布尔代数的理解和运用能力，能够更好地处理各种与布尔代数相关的问题。未来，我们可以将这些知识应用到更多领域，如计算机科学、自动化控制等，为解决实际问题提供有力的支持。