Hall定理

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hall定理是判定二分图是否存在完全匹配的定理。
完全匹配:是指最大匹配数为min(|X|,|Y|) 也就是X或Y集合其中一个集合所有点都被匹配了。
设二分图中G=<V1,V2,E>中 |V1|=m<=|V2|=n,G中存在从V1到V2的完全匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,m)个顶点至少与V2中k个顶点是相邻的。

判断是否有完全匹配的方法
可以利用限制来求出最大的什么值之类的,
也可以粗暴一点直接二分答案然后判定。

hall定理的拓展:
最大匹配是 ∣ S ∣ − m a x S ′ ⊂ S ( ∣ S ′ ∣ − ∣ t r ( S ′ ) ∣ ) |S| - max_{S' \sub S}(|S'| - |tr(S')|) SmaxSS(Str(S))
其中 t r ( S ′ ) tr(S') tr(S)是与 S ′ S' S相邻的点集。

在这里插入图片描述
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一个简化:
正则二分图一定有完美匹配。(搜正则图)

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