Hall定理

最新推荐文章于 2025-06-25 09:33:11 发布
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文档
hall定理是判定二分图是否存在完全匹配的定理。
完全匹配：是指最大匹配数为min(|X|,|Y|) 也就是X或Y集合其中一个集合所有点都被匹配了。
设二分图中G=<V1,V2,E>中 |V1|=m<=|V2|=n,G中存在从V1到V2的完全匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,m)个顶点至少与V2中k个顶点是相邻的。

判断是否有完全匹配的方法
可以利用限制来求出最大的什么值之类的，
也可以粗暴一点直接二分答案然后判定。

hall定理的拓展：
最大匹配是 ∣ S ∣ − m a x S ′ ⊂ S ( ∣ S ′ ∣ − ∣ t r ( S ′ ) ∣ ) |S| - max_{S' \sub S}(|S'| - |tr(S')|) ∣S∣−maxS′⊂S​(∣S′∣−∣tr(S′)∣)
其中 t r ( S ′ ) tr(S') tr(S′)是与 S ′ S' S′相邻的点集。

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

一个简化：
正则二分图一定有完美匹配。（搜正则图）

BZOJ3693:圆桌会议（Hall定理）
DZYO的博客
12-16 1406
传送门题解： 按照题意，先把所有的人放在左边，所有的桌子。，如果有完备匹配就可以，否则就不可以。显然直接匈牙利是会超时的。考虑二分图完备匹配的充要条件是满足Hall定理。那么问题转化为：对于任意人的子集XX，连向的桌子个数≥|X|\ge |X|。先考虑链的情况： 此时的人的子集如果没有包含某个条件的完整的aia_i，那么此可以扩展至包含这个条件的所有aia_i（因为aia_i的连边都相同），而对
Codeforces 1373G Hall 定理 + 线段树
neweryyy的博客
04-01 515
题意 传送门 Codeforces 1373G Pawns 题解 棋子 (x,y)(x,y)(x,y) 能安排在 y≤∣k−y∣+xy\leq \lvert k-y\rvert + xy≤∣k−y∣+x 的位置。 令 f(j)f(j)f(j) 代表 i≥ji\geq ji≥j 必须安排的棋子数量，那么对于合法的最大行号 ttt，应该满足 f(j)≤t−j+1f(j)\leq t - j + 1f(j)≤t−j+1。根据 Hall 定理，将 f(j)f(j)f(j) 看作二分图需要构造完备匹配的一侧点集（显然
Hall 定理
weixin_33851177的博客
06-25 1268
Hall 定理 是匈牙利算法的基础 大意是说，对于一个二分图 左边的集合记为X，右边的集合记为Y 存在完美匹配，（即匹配数目=min(|X|,|Y|)）的充分必要条件是 对于任意一个X的子集，设大小为k，那么和这个子集相连的Y必须不小于k个 这里有一个十分直观的证明 http://blog.youkuaiyun.com/werkeytom_ftd/article/details/65658944 ...
Hall 定理学习笔记
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qq_56326461的博客
06-25 788
对于一张二分图GVEG=(V,E)GVE，设其左右部点集分别为VLVRV_L,V_RVL​VR​，不妨认为∣VL∣≤∣VR∣∣VL​∣≤∣VR​∣，定义该二分图的一组完备匹配为左部∣VL∣|V_L|∣VL​∣个点全部成为匹配点的匹配。Hall 定理讲的是，定义NvN(v)Nv为节点vvv的邻居集，如果对于任意S⊆VLS⊆VL​，均有∣S∣≤∣⋃u∈SNu∣∣S。
HALL定理
DouMiaoO_Oo的博客
06-18 3458
维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_marriage_theorem Hall 结婚定理(Hall’s MarriageTheorem or Hall's theorem)由英国数学家Philip Hall提出(The graph theoretic formulation deals witha bipartite graph. It giv
Hall定理（二分图匹配问题，Hungary算法基础）
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Hall定理及其充要性证明
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10-05 1367
Hall定理: 若二分图GGG中两部分的点的集合分别为X,YX,YX,Y下设∣X∣≤∣Y∣|X| \leq |Y|∣X∣≤∣Y∣ 则二分图存在完备匹配当且仅当XXX中的任意kkk个点至少与YYY中的kkk个点相邻 证明 必要性显然. 充分性证明: 反设GGG满足条件且GGG中最大匹配不是完备匹配 则存在x1∈Xx_1 \in Xx1​∈X使得x1x_1x1​未被匹配. 由条件,存在y1∈Yy_1 \in Yy1​∈Y 使得x1,y1x_1,y_1x1​,y1​相邻且y1y_1y1​已被匹配. 所以存在x2∈
AtCoder ARC106 E Hall 定理 + 二分 + 容斥原理 + 高维前后缀和
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因为每一个职工的休息日之前总是对应唯一的工作日。预处理出每一天可以选择的用户集合。二分确定工作时长之后，可以统计出对于每一个确定的用户集合。的并集的规模，使用容斥原理，求高维前缀和即可。但二分图规模过大，直接求解最大匹配显然难以胜任。问题可以转化为每一天与职员之间的匹配问题，思路与。，与其存在连边的二分图另一侧节点的数量要大于等于。根据 Hall 定理，若二分图一侧点集。都能被匹配的充要条件是，对于。被选择的日子的集合。做高维后缀和，就能求出。的交集的规模，为了求出。，其恰好能被选择的天数。
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01-17
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Hall定理学习
OZY的博客
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前言 这篇并不想写什么东西。。 就是保存资料。。 学习资料 WerKeyTom_FTD 什么是完美匹配？ 就是一个二分图，我们假设|x|&lt;=|y||x|&lt;=|y||x|
二分图的Hall定理
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
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Hall定理的作用： 用于判断二分图是否存在完美匹配 完美匹配： 最大匹配为min(|X|,|Y|)，即X和Y中有一个集合所有点都被匹配 Hall定理： 设|X|<=|Y|，二分图XY存在完美匹配的条件是： 对于X中点的任意子集A，设与A相邻的Y中的点集合为B，满足|A|<=|B| Hall定理的一个推论： 设|X|<=|Y|，则最大匹配=|X|-max{|A|-|B|}，其中A是X的任意子集，B是A的相邻点集合 ...
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Hall定理：设M(S)M(S)为与SS中的点相连的点集，一个二分图(U,V)(|U|≤|V|)(U,V)(|U|\le|V|)存在完备匹配，当且仅当满足对于任意点集x∈Ux∈U，都有|M(X)|≥|X||M(X)|\ge|X|。DescriptionDescription给出一个长度为nn的数列{aia_i}和一个长度为mm的数列{bib_i}，求{aia_i}有多少个长度为mm的连续子数列能与{
二分图之Hall定理小记
mamingzhi_2026的博客
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对于二分图GVE，令Nv表示点v的邻居集，则关于图G：设二分图G的两部分分别为VL​VR​且∣VL​∣≤∣VR​∣，则其存在一个大小为∣VL​∣的匹配当且仅当∀S⊆VL​，都有∣S∣≤∣v∈S⋃​Nv∣。：对于一个k正则二分图（每个点度数都为k，其中k≥1），若其左右点数相等，那么其必有完美匹配。：设二分图G的两部分分别为VL​VR​，则其最大匹配为∣VL​∣−S⊆V。
【BZOJ 2138】stone - Hall定理
GEOTCBRL
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给一些互不包含的区间和一些石子堆，按顺序依次从区间内取走一些石子且每次有上限，要求每次都尽量取最多石子。
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基本定义 \(Hall\) 定理是二分图匹配的相关定理 用于判断二分图是否存在完美匹配 存在完美匹配的二分图即满足最大匹配数为 \(min(|X|,|Y|)\) 的二分图,也就是至少有一边的点全部被匹配到了 定理 设 \(M(U)\) 为与 \(U\) 中的点相连的点集，一个二分图 \(U,V(|U|<=|V|)\) 存在完美匹配，满足对于任意点集 \(x∈U\) 都有 \(|M(X)|&g...
NOI模拟：保镖（Hall定理）
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tutte定理证明hall定理
10-25
Tutte定理是Hall定理的一个推广，它描述了一个图是可匹配的充分必要条件。Tutte定理的证明基于Hall定理，但是使用了一些新的技巧和思想。具体来说，Tutte定理的证明使用了一个叫做“缩系”的技巧，这个技巧可以将一个图缩成一个更小的图，从而简化证明的过程。此外，Tutte定理的证明还使用了一些新的概念和工具，例如芝诺图和芝诺多项式等。
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