经验分布函数的期望值公式解析

E [ F ^ n ( x ) ] = E [ 1 n ∑ i = 1 n 1 { X i ≤ x } ] = 1 n n F X ( x ) = F X ( x ) E[\hat{F}_n(x)] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}\{X_i \leq x\}\right] = \frac{1}{n} n F_X(x) = F_X(x) E[F^n​(x)]=E[n1​i=1∑n​1{ Xi​≤x}]=n1​nFX​(x)=FX​(x)

这个公式描述了经验分布函数（Empirical Distribution Function，简称EDF）的期望值。我们来逐步解析这个公式，以便更好地理解它：

1. 定义经验分布函数： ${\hat{F}}_n(x)$ 是经验分布函数，定义为样本中不超过 $x$ 的观测值的比例。具体的公式是
   F ^ n ( x ) = 1 n ∑ i = 1 n 1 { X i ≤ x } \hat{F}_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}\{X_i \leq x\} F^n​(x)=n1​i=1∑n​1{ Xi​≤x}

其中， 1 { X i ≤ x } \mathbf{1}\{X_i \leq x\} 1{ Xi​≤x} 是一个指示函数，当 $X_i\le x$ 时取值为 1，否则为 0。

2. 计算期望：要求 ${\hat{F}}_n$