【学习笔记】如何正确判负环

最新推荐文章于 2021-07-17 20:40:05 发布

changle_cyx

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本文介绍了使用SPFA算法判断图中是否存在负环的两种科学方法。方法一通过记录最短路径上的边数来判断，而方法二则通过记录点的入队次数。这两种方法的时间复杂度均为O(nm)，并提供了方法一的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最近发现自己不太会判负环。
以下是两种科学的判负环方法，方法一的实际效率应当是比方法二快的。
方法一：
在 $SPFA\text{SPFA}$ 的过程中顺便记一个变量 $c n t [x]$ ，表示 $1→x1\to x$ 的最短路上经过的边数，在松弛时顺带判断，若存在一个点 $x$ 满足 $cnt[x]≥ncnt[x]\ge n$ ，则图中存在负环。
方法二：
在 $SPFA\text{SPFA}$ 的过程中顺便记下每个点的入队次数，在松弛时顺带判断，若某时刻存在一个点的入队次数达到 $n$ ，则图中存在负环。
两种方法的时间复杂度均为 $O(nm)\mathcal O(nm)$ ，其他诸如 $dfsSPFA\text{dfsSPFA}$ 的奇怪的玄学算法的时间复杂度可能是指数级的，非常不科学，可以被负责任的出题人卡掉。
附方法一代码：

const int MaxNV = 2e3 + 5; 
const int MaxNE = 6e3 + 5; 
const int INF = 0x3f3f3f3f; 

#define trav(u) for (int e = adj[u], v; v = to[e], e; e = nxt[e])

int n, m; 
int dis[MaxNV], cnt[MaxNV]; 
int ect, adj[MaxNV], to[MaxNE], nxt[MaxNE], len[MaxNE]; 

inline void addEdge(int u, int v, int w)
{
    nxt[++ect] = adj[u]; 
    adj[u] = ect; 
    to[ect] = v; 
    len[ect] = w; 
}

inline bool SPFA()
{
    static bool inq[MaxNV]; 
    static int que[MaxNV * MaxNE], qr; 

    que[qr = 1] = 1; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        inq[i] = false; 
    
    for (int ql = 1, u; ql <= qr; ++ql)
    {
        inq[u = que[ql]] = false; 
        
        trav(u) if (tense(dis[v], dis[u] + len[e]))
        {
            cnt[v] = cnt[u] + 1; 
            if (cnt[v] >= n) return true; 

            if (!inq[v])
                inq[que[++qr] = v] = true; 
        }
    }
    return false; 
}