【日常训练】跑步（BIT）

最新推荐文章于 2025-05-16 14:04:52 发布

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本文探讨了一种基于二维网格的动态调整与区间更新优化算法，适用于收益最大化的路径选择问题。通过使用线段树和差分技巧，实现了对特定区域内数值的高效更新，同时保持了全局最优解的准确性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

老虎是一名旅游爱好者。
时至 $7$ 月，正是前往海边度假的好时节。在海边享受阳光，沙滩和海风呼啸，真是虎生的一大享受。海边的居民有着自己的风俗习惯，具体来说，海边可以看做是一个 $\times n$ 的网格，左上角为 $(1, 1)$ ，右下角为 $(n, n)$ 。在每个网格中，都生活着渔民一家。对渔民来说，售卖新鲜的贝类显然是谋生的一大工具，而在小镇中，只有网格 $(1, 1)$ 中有海鲜市场。每天，渔民们会空手从自己的家离开，并通过向左或向上走的方式到达海鲜市场。渔民会在沿途中拾取贝类，并在海鲜市场出售。具体来说，如果一个渔民经过了点 $(i, j)$ ，那么他能够拾取到价值为 $a_{i, j}$ 的贝壳。
显然，每个渔民会选择一条收益最大的路径前进，现在老虎想要知道，所有渔民的最大收益和是多少。
由于自然环境的变化，渔民经过某个位置的代价可能会改变。但自然环境是动态平衡而稳定的，因此渔民经过某个位置时的收益变化不会超过 $1$ 。
同时，渔民显然不会做不利于自己的事，因此我们保证条件 $ai,j≥0a_{i, j} \ge 0$ 始终满足。
对于 $100%100\%$ 的数据， $\le a_{i, j}, n \le 2000$ 。

算法分析

首先我们可以有一个简单的 $O(n3)\mathcal O(n^3)$ 做法：令 $f (i, j)$ 表示从 $(i,j)→(1,1)(i,j)\to (1,1)$ 的最大收益，然后就有 $f(i,j)=\max\{f(i-1,j),f(i,j-1)\}+a_{i,j}$ 。
每次修改后暴力将 $(x, y)$ 到 $(n, n)$ 的 $f$ 修改即可。
考虑每次被修改到的位置满足什么性质。
不难发现：
- 被修改的位置一定是在 $(x, y)$ 到 $(n, n)$ 之间，并且构成一个连通块。
- $(i,j−1)和(i−1,j)都被修改⇒(i,j)被修改(i,j-1)\text{和}(i-1,j)\text{都被修改}\Rightarrow (i,j)\text{被修改}$ 。
不难证明，每一行被修改的恰好是连续的一段，并且这段的 $l, r$ 都是随着行数增加而单调递增的。
因此我们可以得到一个算法，每次修改用两个指针 $l, r$ 表示该行要修改 $[l, r]$ 这个区间。
然后我们从上往下一行行扫过去，在此过程判断 $l, r$ 能否向右移动。
显然对于每次操作，查询次数是 $O(n)\mathcal O(n)$ 的。
然后我们要实现的就是区间加，单点询问，用 $BIT\text{BIT}$ 即可。
时间复杂度 $O(n2log⁡n)\mathcal O(n^2\log n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>

template <class T>
inline void read(T &x)
{
	static char ch; 
	while (!isdigit(ch = getchar())); 
	x = ch - '0'; 
	while (isdigit(ch = getchar()))
		x = x * 10 + ch - '0'; 
}

inline bool read_opt()
{
	static char ch; 
	while (ch = getchar(), ch != 'U' && ch != 'D'); 
	return ch == 'U'; 
}

typedef long long s64; 

const int MaxN = 2e3 + 5; 

int n; 
int a[MaxN][MaxN], f[MaxN][MaxN]; 

s64 ans; 
s64 c[MaxN][MaxN]; 

inline void add(s64 *c, int x, int del)
{
	for (; x <= n; x += x & -x)
		c[x] += del; 
}

inline s64 query(int i, int x)
{
	s64 res = 0; 
	for (; x; x ^= x & -x)
		res += c[i][x]; 
	return res; 
}

inline void modify(int i, int l, int r, int del)
{
	add(c[i], l, del), add(c[i], r + 1, -del); 
}

int main()
{
	freopen("run.in", "r", stdin); 
	freopen("run.out", "w", stdout); 

	read(n); 
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			read(a[i][j]); 
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			ans += (f[i][j] = std::max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + a[i][j]); 

	printf("%lld\n", ans); 
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			modify(i, j, j, f[i][j]); 
	for (int orzczk = 1; orzczk <= n; ++orzczk)
	{
		int opt = read_opt(), x, y; 
		read(x), read(y); 
		a[x][y] = opt ? a[x][y] + 1 : a[x][y] - 1; 
		for (int i = x, l = y, r = y; i <= n; ++i)
		{
			while (r < n && query(i, r + 1)
			             != std::max(query(i, r) + (opt ? 1 : -1), query(i - 1, r + 1)) + a[i][r + 1])
				++r; 
			while (l <= r && query(i, l)
						 == std::max(query(i, l - 1), query(i - 1, l)) + a[i][l])
				++l; 
//				printf(":%d %d %d\n", i, l, r); 
			if (l > r) break; 
			ans += (opt ? 1 : -1) * (r - l + 1); 
			modify(i, l, r, opt ? 1 : -1); 
		}

		printf("%lld\n", ans); 
	}

	return 0; 
}