【小技巧】O(1)快速乘

最新推荐文章于 2019-07-29 14:29:10 发布

changle_cyx

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本文深入探讨了在处理大数模运算时的优化方法，特别是在CRT算法中的应用。介绍了如何通过二进制拆分将乘法转化为加法，实现O(logn)的快速乘法。同时，提供了一种利用longdouble进行O(1)快速乘法的方法，有效避免了在处理大数时的时间和精度问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题：求 $pa\times b\ mod\ p$ ， $a, b, p$ 在 long long 范围内。
在 CRT 等算法中应用广泛。
为了处理模数在 int 范围外的情况，就是两数相乘可能会爆 long long 时，我们不能直接用整型的乘法来计算。
首先我们可以进行二进制拆分，化乘法为加法，类似快速幂那样，写出一个 $O(log⁡n)O(\log n)$ 的快速乘

typedef long long s64; 

inline void add(s64 &a, const s64 &b)
{
	a += b; 
	if (a >= mod)
		a -= mod; 
}

inline s64 qmul(s64 a, s64 b, const s64 &mod)
{
	a = (a % mod + mod) % mod; 
	b = (b % mod + mod) % mod; //这两行依据情况不写
	s64 res = 0; 
	for (; b; b >>= 1, add(a, a, mod))
		if (b & 1)
			add(res, a, mod); 
	return res; 
}

多次使用时，为了避免毒瘤出题人卡时间（或是为了优化常数），我们可以利用 long double 写出一个优秀的 $O (1)$ 快速乘。
简单原理： $p=a×b−⌊a×bp⌋×pa\times b\ mod\ p=a\times b-\lfloor \frac{a\times b}{p}\rfloor\times p$
利用 long double 来处理这个 $⌊a×bp⌋\lfloor \frac{a\times b}{p}\rfloor$ 。
然后处理一下浮点误差就可以了。
~~模数较大时可能会出锅。~~
~~不过出锅概率很小~~

typedef long long s64; 
typedef long double ld; 

inline s64 qmul(s64 a, s64 b, s64 mod)
{
	a = (a % mod + mod) % mod; 
	b = (b % mod + mod) % mod; //这两行依据情况不写
	s64 res = a * b - (s64)((ld)a / mod * b + 1e-8) * mod; 
	return res < 0 ? res + mod : res;  
}