洛谷 P2149 [SDOI2009]Elaxia的路线【思维】【最短路】【拓扑】

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题目：

传送门

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题意：

在一张图上，有两个起点和终点，在保证两人都在所用距离最短的情况下共同经过的路径的距离最长是多少

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分析：

根据题目的要求，我们的答案一定是在他们的某条最短路径上的
为了满足所用距离最短，我们肯定是需要跑最短路，但此时我们只需要距离，不用路径
因为路径可能是多条，但距离肯定只有一个
一个小性质，如果一条路径是最短路径$(i,j)$， 那肯定也满足$(i,x)+(x,y)+(y,j)=(i,j)$且均是最短路
这样的话，我们就可以判断某一小段路是否在起点到终点的最短路径上了
我们先在原图上找出满足在第一个人的最短路径上的边是哪些，接着再在这些边上去找满足在第二个人的最短路径上的有哪些
基本思路如此，但仍有漏洞，因为我们习惯了一对起点终点的最短路，所以往往会认为无论怎样判定都是不影响答案的，可不是这样的
当第二个人的最短路径加入考虑的时候，我们需要确保$ta$的判定是同一方向的
也就是要么是$i\to x,y\to j$，要么是$j\to x,y\to i$
不然就会出现明明是两条不相干的路径，却被一起算成的答案
最后的答案用拓扑或者$spfa$都是可以求解的
洛谷大佬提供的$hack$数据：

in:
9 12
1 7 8 9
1 2 1
2 5 1
2 3 1
2 6 1
3 4 1
5 4 1
4 7 1
4 6 1
8 5 1
5 3 1
3 6 1
6 9 1
out:
1

in：
4 4
1 4 2 3
1 2 10
1 3 1
4 2 9
4 3 2
out：
2

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代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long 
#define MM 2147483647/3
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL s=0,f=1; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {s=s*10+c-'0';c=getchar();}
	return s*f;
}
struct node{
	int to,next,w;
}e[4500005];
struct nnode{
	int to,next,w;
}E[4500005];;
int cnt=0,ls[1505];
void add(int x,int y,int w)
{
	e[cnt]=(node){y,ls[x],w};
	ls[x]=cnt++;
	return;
}
struct dui{
	int u,w;
	bool operator < (const dui &www) const {return w>www.w;}
};
int dis[5][1505],n=read(),m=read();
void dij(int o,int s)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[o][i]=MM;
	dis[o][s]=0;
	queue<dui> q;
	q.push((dui){s,0});
	while(q.size())
	{
		int u=q.front().u,w=q.front().w;
		q.pop();
		if(w!=dis[o][u]) continue;
		for(int i=ls[u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if(w+e[i].w>=dis[o][v]) continue;
			q.push((dui){v,dis[o][v]=w+e[i].w});
		}
	}
	return;
}
struct qwq{
	int u,w;
};
int ll[1505],cntt,in[1505],ans;
void add2(int x,int y,int w)
{
	E[cntt]=(nnode){y,ll[x],w};
	ll[x]=cntt++;
	return;
}
void top(int u)
{
	queue<qwq> q;
	q.push((qwq){u,0});
	while(q.size())
	{
		int u=q.front().u,w=q.front().w;
		q.pop();
		ans=max(w,ans);
		for(int i=ll[u];~i;i=E[i].next)
		{
			int v=E[i].to;
			in[v]--;
			ans=max(w+E[i].w,ans);
			if(in[v]) continue;
			q.push((qwq){v,w+E[i].w});
		}
	}
	return;
}
int main()
{
	memset(ls,-1,sizeof(ls));
	int s1=read(),e1=read(),s2=read(),e2=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=read(),y=read(),w=read();
		add(x,y,w);add(y,x,w);
	}
	dij(1,s1);dij(2,e1);dij(3,s2);dij(4,e2);
	memset(in,0,sizeof(in));
	memset(ll,-1,sizeof(ll));cntt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  for(int k=ls[i];~k;k=e[k].next)
		{
			int u=i,v=e[k].to;
			if(dis[1][u]+e[k].w+dis[2][v]!=dis[1][e1]) continue;
			in[v]++;
			if(dis[3][u]+e[k].w+dis[4][v]==dis[3][e2]) add2(u,v,e[k].w);
			else add2(u,v,0);
		}
	top(s1);
	memset(ll,-1,sizeof(ll));cntt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  for(int k=ls[i];~k;k=e[k].next)
		{
			int u=i,v=e[k].to;
			if(dis[1][u]+e[k].w+dis[2][v]!=dis[1][e1]) continue;
			in[v]++;
			if(dis[4][u]+e[k].w+dis[3][v]==dis[3][e2]) add2(u,v,e[k].w);
			else add2(u,v,0);
		}
	top(s1);
	cout<<ans;
	return 0;
}